Найти общее решение, фундаментальную систему решений и частное решение. Сделать проверку частного решения.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ

6.1. Найти собственные значения и собственные векторы матриц:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

6.2. Найти собственные значения треугольной матрицы:

6.3. Доказать, что характеристический многочлен совпадает с характеристическим многочленом матрицы А (n=3).

6.4. Доказать, что собственные значения диагональной матрицы совпадают с ее диагональными элементами.

6.5. Доказать, что если х- собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению то х- будет собственным вектором и для:

А)

Б) при

В) f(A), где f(t) любой многочлен.

Найти соответствующие собственные значения этих матриц.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

6.6. Является ли данное множество линейным пространством:

1. множество векторов, концы которых лежат на данной прямой;

2. множество векторов, концы которых лежат в первой четверти;

3. множество многочленов степени =3;

4. множество многочленов степени 3;

5. множество матриц размера 2 3;

6. множество матриц-столбцов;

7. множество натуральных чисел;

8. множество действительных чисел;

9. множество комплексных чисел;

10. множество векторов длины 1 из

11. множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых – целые числа;

12. множество всех векторов, являющихся линейными комбинациями векторов х, у, z;

13. множество всех четных функций a=f(t), b=g(t), заданных на отрезке [-1,+1];

сумма: , произведение:

14. множество всех нечетных функций a=f(t), b=g(t), заданных на отрезке [-1,+1];

15. множество всех линейных функций a=f , b=g ;

16. множество диагональных матриц;

17. множество всех невырожденных матриц;

18. множество всех симметрических матриц;

19. множество всех положительных чисел; сумма: произведение ;

20. множество всех дифференцируемых функций a=f(t), b=g(t);

 

БАЗИС. МАТРИЦЫ ПЕРЕХОДА. ПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.

7.1. Найти базис системы векторов:

1. векторов, лежащих на одной прямой;

2. на плоскости;

3. матриц второго порядка ;

4. многочленов степени

7.2. Найти какой-нибудь базис системы векторов:

1. 2.

7.3. Найти координаты вектора х в базисе:

1.

2.

7.4. Найти координаты многочлена

1. в базисе:

2. в базисе:

3. в базисе:

7.5. Найти базис пространства, заданного системой линейных уравнений:

7.6. Доказать, что каждая из двух систем векторов является базисом и найти матрицу перехода от старого базиса к новому.

1.

2.

7.7. Найти координаты вектора в базисе , если он задан в базисе :

1. 2.

=(6,-1,3), =(1,2,4).

7.8. Проверить, что векторы следующих систем попарно ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов:

1. 2.

7.9. Найти векторы, дополняющие следующие системы векторов до ортонормированных базисов:

1. 2.

7.10.Применяя процесс ортогонализации построить ортонормированный базис подпространства

1. 2.

 

МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ

8.1. Пусть оператор А поворачивает все векторы на плоскости ХОУ на угол против часовой стрелки. Найти матрицу оператора А.

8.2. В пространстве многочленов от t степени меньшей или равной 5 положим (оператор дифференцирования). Найти матрицу оператора в базисе:

а) , , , , ;

б) , , , , .

8.3. Доказать линейность и найти матрицу оператора (в базисе ):

а) проектирования на ось ОХ;

б) проектирования на плоскость z=0;

в) проектирования на ось ОУ;

г) проектирования на плоскость у=0;

д) проектирования на плоскость 0yz;

е) поворота относительно оси 0z на угол в положительном направлении.

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

8.5. Привести к каноническому виду квадратичную форму. Найти матрицу перехода. Выяснить знакоопределенность формы (положительно определенная, отрицательно определенная, знакопеременная)

1) ;

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

 

ЧИСЛО И ВЕКТОР ФРОБЕНИУСА. ПРОДУКТИВНОСТЬ МАТРИЦ.

9.1. Найти число и вектор Фробениуса матрицы А:

а) б) в) г) .

9.2. Найти число Фробениуса матриц:

а) б) в) г) .

9.3. Продуктивна ли матрица:

а) б) в) г)

д) .

9.4. При каких матрица:

а) б) будет продуктивной?

9.5. Найти запас продуктивности матрицы:

а) б) .

ВЕКТОРЫ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.

ВЕКТОРЫ

10.1. Вычислить направляющие косинусы вектора и орт вектора ():

а) ;

б) ;

в) .

10.2. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы:

а) , , ;

б) , , .

10.3. Определить координаты точки М, если ее радиус вектор составляет с координатными осями одинаковые углы, а его модуль равен .

10.4. По данным векторам и построить

а) + , б) - , в) - , г) - - .

10.5. Даны: , , и . Найти .

10.6. Даны: , , и . Найти .

10.7. Проверить коллинеарность векторов и . Установить во сколько раз один длиннее другого и как они направлены (в одну или противоположные стороны).

а) б)

10.8. Проверить, что четыре точки А, В, С, Д служат вершинами трапеции:

а) А(3,-1,2), В(1,2,-1), С(-1,1,-3), Д(3,-5,3).

б) А(-1,5,-10), В(5,-7,8), С(2,2,-7), Д(5,-4,2).

10.9. Даны векторы (2,-3,6) и (-1,2,-2). Определить координаты вектора , направленного на биссектрисе угла между векторами и , при условии, что .

10.10. Векторы (2,6,-4) и (4,2,-2) совпадают со сторонами треугольника АВС. Определить координаты векторов , и , совпадающих с медианами треугольника.

10.11. Доказать, что если и неколлинеарные векторы, то любой вектор , лежащий в их плоскости, может быть представлен в виде: и это представление однозначно.

10.12. Даны четыре вектора: , , , . Найти координаты каждого вектора в базисе из остальных векторов.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Проекция вектора на произвольную ось определяется формулой , где - единичный вектор на оси е.

Тогда .

10.13. Векторы и образуют угол . Пусть , .

Найти:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

10.14. Доказать справедливость тождества и выяснить его геометрический смысл.

10.15. Установить, при каком взаимном расположении векторов , , справедливо равенство: .

10.16. Даны единичные векторы , , , такие что:

а) + + =0. Найти .

б) + - =0. Найти .

10.17. Дано , . При каком векторы и взаимно перпендикулярны?

10.18. Какому условию должны удовлетворить векторы и , чтобы вектор был перпендикулярен ?

10.19. Доказать, что:

а) вектор перпендикулярен к вектору ;

б) вектор перпендикулярен к вектору .

10.20. Даны векторы =(4,2,-1) и =(1,0,-1).

Найти:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7)

10.21. При каком векторы и взаимно перпендикулярны?

10.22. Найти вектор , коллинеарный вектору =(2,1,-1) и удовлетворяющий условию .

10.23. Найти вектор х, если он перпендикулярен векторам =(2,3,-1) и =(1,-2,3) и .

10.24. Даны =(3,-1,5) и =(1,2,-3). Найти , если он перпендикулярен оси OZ и , .

10.25. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.