Уравнение плоскости в пространстве.

Задача. Построить уравнение плоскости по точке (2,2,8) и перпендикуляру (3,3,7).

Ответ. .

Задача. Построить уравнение плоскости по точке и двум направляющим векторам (4,2,3) и .

Ответ. .

Задача. Построить уравнение плоскости, проходящей через (0,0,0) параллельно 2 направляющим (1,1,2) и (2,1,3). Ответ. .

 

Задача. Построить уравнение плоскости по трём точкам. А(1,2,3), В(3,5,7), С(4,5,6). Ответ. .

 

Задача. Найти расстояние от точки M₀ (1,3,5) до плоскости . Ответ. .

Задача. Найти расстояние от точки M₀ (7,15,22) до плоскости . Ответ. .

Задача. Даны точки , , .

Вывести уравнение прямой, содержащей А₁В₁, и найти расстояние от точки С₁ до этой прямой (то есть высоту треугольника).

Ответ. Прямая , расстояние 3.

Задача 3. Найти угол между двумя плоскостями: и . Ответ. .

Прямая в пространстве

Задача. Построить уравнение прямой в пространстве (каноническое, параметрическое) по точке и направляющему .

Ответ. ,

Задача. Построить уравнение прямой, лежащей в пересечении двух плоскостей и .

Ответ. , .

Задача. Доказать, что прямая пересекает ось и найти точку пересечения.

Ответ. (0,0,1).

Задача. Найти угол между прямой

и плоскостью . Ответ. .

Задача. Найти параметрические и канонические уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости треугольника с вершинами , , и проходящей через вершину А.

Ответ. Канонические ,

параметрические .

 

Задача. Доказать, что две прямые в пространстве

и пересекаются, и найти точку пересечения.

Ответ. точка пересечения (1,1,2).

Задача 11. Доказать, что две прямые в пространстве:

и скрещивающиеся, и найти расстояние между ними. Ответ. .

Задача. Доказать, что прямые и пересекаются и найти точку. Ответ. (3,7,-6).

Задача. Вычислить расстояние от точки (4,4,-2) до прямой в пространстве. Ответ. .

Задача. Даны три точки А(1,1,1),В(2,2,3),С(2,1,2). Вывести уравнение прямой, содержащей АВ, и найти расстояние от точки С

до этой прямой (высота треугольника АВС). Ответ. .

Задача. Найти точку пересечения плоскости и прямой . Ответ. Точка пересечения .

Задача. Через точку и ось Ох проходит одна плоскость, через эту же точку и ось Оу вторая. Найти косинус тупого угла между этими плоскостями. Ответ.

Задача. Заданы 2 прямые в пространстве, одна - своими параметрическими уравнениями, а другая как пересечение пары плоскостей:

и .

Доказать, что эти прямые параллельны, и найти уравнение плоскости, содержащей их. Ответ. Плоскость .

Задача. Доказать, что кривая

является эллипсом, найти каноническое уравнение, центр и полуоси.

Ответ. Центр , полуоси и .

Задача. Доказать, что кривая

является эллипсом, найти каноническое уравнение, центр и полуоси, построить чертёж.

Ответ. Центр , полуоси 1 и 3.

Задача. Доказать, что однополостный гиперболоид содержит прямолинейные образующие.

Задача. Доказать, что кривая является эллипсом, найти каноническое уравнение, центр и полуоси.

Ответ. Центр (3,-1), полуоси 3 и .

 

«Введение в математический анализ. Множества и функции»

Задача. Точка движется по окружности единичного радиуса вокруг начала координат в плоскости. Температура распределена по закону:

. Найти для этой точки функцию, как меняется температура в зависимости от времени.

Ответ. Температура в зависимости от времени для этой точки изменяется так: .

 

Задача. Найти область определения функции:

. Ответ. .

Задача. Найти область определения функции:

.

Ответ. Кольцо .

Задача. Найти область определения функции 3 переменных:

. Ответ. Шар радиуса 1: .