Уравнения линий на плоскости

Прямая на плоскости

Прямую на плоскости можно задать многими способами. При решении задач на прямую часто используются следующие типовые уравнения и соотношения:

1. Уравнения прямой с угловым коэффициентом

,

где k – угловой коэффициент (, - угол наклона прямой к оси Ox), b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М (x ₀, y ₀) c данным угловым коэффициентом k

.

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M ₁(x ₁, y ₁) и M ₂(x ₂, y ₂)

.

Заметим, что в случае , уравнение принимает вид . Аналогично, если , уравнение прямой записывается .

4. Расстояние d от точки М ₀ до прямой определяется по формуле

.

5. Угол j, отсчитываемый против часовой стрелки от прямой до прямой , определяется по формуле

.

Из формулы следует:

1) прямые l ₁ и l ₂ параллельны, если ;

2) прямые l ₁ и l ₂ перпендикулярны, если .

6. Уравнения биссектрис углов между прямыми и имеют вид

.

 

7. Точка пересечения медиан делит любую из них на части в отношении 2:1 (считая от вершины).

 

Пример. Даны вершины треугольника А (-3,-3), В(2,7) и С (5,1). Требуется написать уравнения сторон треугольника, определить угол А треугольника, найти уравнение медианы АК и высоты АМ.

 

Рис. 1.

Решение. Чтобы написать уравнение стороны АВ треугольника, используем вид уравнения прямой, проходящей через две точки:

AВ: или у = 2х + 3.

Аналогично

АС: или у = 0,5х -1,5

СВ: или у = -2х +11.

Тогда тангенс угла А определяется по формуле:

, k₂=2, k₁ = 0,5. Следовательно

 

Ищем уравнение медианы АК. Для этого определяем координаты точки К, учитывая, что отрезок ВС в точке К делится пополам и, следовательно,

АК или

Ищем уравнение высоты АМ, опущенного из вершины А на сторону ВС:

, где .

Следовательно, уравнение АМ: или у - 0,5х +1,5 =0

 

Линии второго порядка

Ниже приведены канонические уравнения кривых второго порядка с центром симметрии (в случае параболы – вершиной) в начале координат (случай А) и в точке С (x ₀, y ₀) (случай В).

А В

Окружность
Эллипс
Гипербола
Парабола

 

Пример 1. Пусть задано уравнение х² + y² - 4x = 0. Является ли это уравнение уравнением окружности и, если да, то каков ее радиус и координаты центра?

Приведем данное уравнение к виду . Выделим полный квадрат относительно х, прибавляя и вычитая число 4

 

x² + y² - 4x = (x² - 4x + 4) + y² - 4 = 0 или (x - 2)² + y² = 2². х₀ = 2, у₀ = 0, R = 2.

 

Пример 2. Дано уравнение кривой второго порядка . Определить тип кривой, найти ее параметры и сделать чертеж.

Решение. Сравнивая с табличными данными находим, что это парабола, вершига которой находится в точке С (x ₀, y ₀). приводим уравнение параболы к виду .

х₀ = 0, у₀ = 2, р = 1. Чертеж

Рис. 2.