Определители второго и третьего порядков.

МАТЕМАТИКА

 

Методические указания и контрольные задания № 1, 2

для студентов-заочников 1-го курса

направление подготовки

261400.62- Технология художественной обработки материалов

Института Прикладного искусства

 

Составитель

Мещерякова Г. П.

 

 

Санкт-Петербург

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Беклемешев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. –М.: Наука, 2005.

2. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике, Айрис Пресс, т.1, 2, 2011 г.

3. Пискунов Н.С.Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 1, 2. - М.: Наука, 2005.

4. Минорский В.П., Сборник задач по высшей математике, 2006 г.

5. Данко П.Е., Попов А.Г. и др., Высшая математика в упражнениях и задачах,

т.т. 1-2, 2007 г.

 

При выполнении контрольной работы на титульном листе указывается:

 

фамилия, имя, отчество;

номер студенческого билета;

название дисциплины, номер контрольной работы, номер варианта.

 

Номер варианта соответствует последней цифре номера студенческого билета.

 

 

Перечень контрольных заданий по методичке кафедры

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА N 1 (методичка к/р 1,2)

Четный год поступления N 1(1 -10), 2(1 – 10), 3(1 – 10), 4(1 – 10).

Нечетный год поступления N 1(11 -20), 2(11 – 20), 3(11 – 20), 4(11 – 20).

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА N 2 (методичка к/р 1,2)

Четный год поступления N 1 (1 -10), 2 (1 - 10), 3 (1 - 10), 4 (1 - 10), 5(1 - 10).

Нечетный год поступления N 1 (11 -20), 2 (11 - 20), 3 (11 - 20), 4 (11 - 20), 5(11 - 20).

Например, год поступления 2013, вариант 3, следовательно должны быть выбраны примеры 1.13, 2.13 и т.д.

Например, год поступления 2014, вариант 3, следовательно должны быть выбраны примеры 1.03, 2.03 и т.д.

 

Контрольная работа № 1

Определители второго и третьего порядков.

Для матрицы A размером определитель находится по формуле: произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали

 

det(A) = = a₁₁ a₂₂ – a₁₂ a_21.

 

Для матрицы А размером определитель находится по формуле

 

det(A) = = a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂ a₃₁ –

- a₁₂ a₂₁ a₃₃ - a₁₁a₂₃ a_32.

 

Системы координат

Пример. Найти расстояние между точками М₁(1, -2, -3) и М₂(-3, 1, 1). Определить координаты точки С, делящей отрезок М₁М₂ в отношении 2:3.

Решение.

Используя формулу

М₁М₂ = ,

получим М₁М₂ = .

2. Координаты точки С определим по формуле вида

,

где .

Векторная алгебра

 

Пример 1. Даны точки М₁(1, -2, -3), М₂(-3, 1, 1). Найти длину вектора .

Решение. Вектор . Следовательно = {-3-1, 1+2, 1+3} ={-4, 3, 4}. Длина вектора находится по формуле ç a ç= .

 

Пример 2. Найти угол φ между векторами и , если М₁(1, -2, -3), М₂(-3, 1, 1), М₃(3, 2, 2).

Решение. Для нахождения cosφ используем формулу

где - скалярное произведение векторов и .

Определим координаты векторов и cosφ:

= (-3-1, 1+2, 1+3) =(-4, 3, 4), = (3-1, 2+2, 2+3) = (2, 4, 5),

,

 

φ = 87⁰45'54^".

Пример 3. Даны координаты вершин пирамиды А₁(1, -2, -3), А₂(-3, 1, 1), А₃(4, 3, -1), А₄(3, 2, 2). Найти площадь грани А₁ А₂ А₃ и объем пирамиды.

Решение. Площадь треугольника А₁А₂А₃ найдем, используя геометрический смысл векторного произведения векторов

,

где - векторное произведение векторов.

Вначале находим

,

а затем

ед².

Объем пирамиды найдем, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов

,

следовательно, ед³.

Прямая на плоскости

Прямую на плоскости можно задать многими способами. При решении задач на прямую часто используются следующие типовые уравнения и соотношения:

1. Уравнения прямой с угловым коэффициентом

,

где k – угловой коэффициент (, - угол наклона прямой к оси Ox), b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М (x ₀, y ₀) c данным угловым коэффициентом k

.

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M ₁(x ₁, y ₁) и M ₂(x ₂, y ₂)

.

Заметим, что в случае , уравнение принимает вид . Аналогично, если , уравнение прямой записывается .

4. Расстояние d от точки М ₀ до прямой определяется по формуле

.

5. Угол j, отсчитываемый против часовой стрелки от прямой до прямой , определяется по формуле

.

Из формулы следует:

1) прямые l ₁ и l ₂ параллельны, если ;

2) прямые l ₁ и l ₂ перпендикулярны, если .

6. Уравнения биссектрис углов между прямыми и имеют вид

.

 

7. Точка пересечения медиан делит любую из них на части в отношении 2:1 (считая от вершины).

 

Пример. Даны вершины треугольника А (-3,-3), В(2,7) и С (5,1). Требуется написать уравнения сторон треугольника, определить угол А треугольника, найти уравнение медианы АК и высоты АМ.

 

Рис. 1.

Решение. Чтобы написать уравнение стороны АВ треугольника, используем вид уравнения прямой, проходящей через две точки:

AВ: или у = 2х + 3.

Аналогично

АС: или у = 0,5х -1,5

СВ: или у = -2х +11.

Тогда тангенс угла А определяется по формуле:

, k₂=2, k₁ = 0,5. Следовательно

 

Ищем уравнение медианы АК. Для этого определяем координаты точки К, учитывая, что отрезок ВС в точке К делится пополам и, следовательно,

АК или

Ищем уравнение высоты АМ, опущенного из вершины А на сторону ВС:

, где .

Следовательно, уравнение АМ: или у - 0,5х +1,5 =0

 

Линии второго порядка

Ниже приведены канонические уравнения кривых второго порядка с центром симметрии (в случае параболы – вершиной) в начале координат (случай А) и в точке С (x ₀, y ₀) (случай В).

А В

Окружность
Эллипс
Гипербола
Парабола

 

Пример 1. Пусть задано уравнение х² + y² - 4x = 0. Является ли это уравнение уравнением окружности и, если да, то каков ее радиус и координаты центра?

Приведем данное уравнение к виду . Выделим полный квадрат относительно х, прибавляя и вычитая число 4

 

x² + y² - 4x = (x² - 4x + 4) + y² - 4 = 0 или (x - 2)² + y² = 2². х₀ = 2, у₀ = 0, R = 2.

 

Пример 2. Дано уравнение кривой второго порядка . Определить тип кривой, найти ее параметры и сделать чертеж.

Решение. Сравнивая с табличными данными находим, что это парабола, вершига которой находится в точке С (x ₀, y ₀). приводим уравнение параболы к виду .

х₀ = 0, у₀ = 2, р = 1. Чертеж

Рис. 2.

Контрольная работа 1. Задания.

1. Решить систему методами Гаусса и Крамера

1.1.	.	1.11.	.
1.2	.	1.12.	.
1.3.	.	1.13.	.
1.4.	.	1.14.	.
1.5.	.	1.15.	.
1.6.	.	1.16.	.
1.7.	.	1.17.	.
1.8.	.	1.18.	.
19.	.	1.19.	.
1.10.	.	1.20.	.

2. Даны координаты вершин пирамиды . Средствами векторной алгебры найти:

1) длину ребра ;

2) угол между ребрами и ;

3) уравнение плоскости ;

4) уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины на грань ;

5) площадь грани ;

6) объем пирамиды.

 

2.1.	,	,	,	.
2.2.	,	,	,	.
2.3.	,	,	,	.
2.4.	,	,	,	.
2.5.	,	,	,	.
2.6.	,	,	,	.
2.7.	,	,	,	.
2.8.	,	,	,	.
2.9.	,	,	,	.
2.10.	,	,	,	.
2.11.	,	,	,	.
2.12.	,	,	,	.
2.13.	,	,	,	.
2.14.	,	,	,	.
2.15.	,	,	,	.
2.16.	,	,	,	.
2.17.	,	,	,	.
2.18.	,	,	,	.
2.19.	,	,	,	.
2.20.	,	,	,	.

 

В задачах 3.1 – 3.20 по аналитической геометрии сде­лать чертеж.

3. Даны координаты вершин треугольника А, В, С. Найти уравнения сторон АВ и АС, угол между ними, уравнения медианы СК и высоты АМ. Сделать чертеж

№	А	В	С	№	А	В	С
3.1.	(-5, 3)	(10,6)	(1, 5)	3.11	(14, 5)	(4, 5)	(-5,-8)
3.2.	(-7, 1)	(5, 0)	(2, 5)	3.12	(10, 2)	(2, 0)	(5, -2)
3.3.	(5, 1)	(0, 3)	(-2, 4)	3.13	(0, -2)	(-2, 1)	(3, 1)
3.4.	(5, 2)	(-1, 0)	(4, 4)	3.14	(-1, 2)	(1, -1)	(-5, 1)
3.5.	(2, -2)	(3, -4)	(2, -1)	3.15	(4, 8)	(-3, 3)	(7, 5)
3.6.				3.16	(4, 4)	(5, 2)	(-1, 0)
3.7.				3.17	(-2, 4)	(5, 1)	(0, 3)
3.8.	(-2, 1)	(3, 1)	(0, -2)	3.18
3.9.	(-3, 3)	(7, 5)	(4, 8)	3.19	(1, 5)	(-5, 3)	(10,6)
3.10	(2, 0)	(5, -2)	(10, 2)	3.20

 

3. Указать тип кривой второго порядка, найти ее параметры и сделать чертеж.

 

4.1. .	4.11.
4.2.	4.12.
4.3.	4.13.
4.4.	4.14.
4.5.	4.15.
4.6.	4.16.
4.7.	4.17.
4.8.	4.18.
4.9.	4.19.
4.10.	4.20.

 

Контрольная работа №2

 

Производная

Пример 1. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:

4.

Решение.

1.

2. есть сложная функция.

, где .

Производная сложной функции имеет вид

или .

Следовательно,

.

- сложная функция.

, где , а ,

. 4.

4.

Функция от независимой переменной задана через посредство вспомогательной переменной (параметра t). Производная от по определяется формулой

.

Находим производные от и по параметру t:

, ,

.

 

Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке, где .

Решение. Уравнение касательной к кривой в точке

,

, .

Для определения углового коэффициента касательной находим производную

,

.

Подставляя значения в уравнение, получим

или .

Уравнение нормали

,

или .

Пример 3. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону . Определить скорость и ускорение движения в момент времени .

Решение. Найдем скорость и ускорение а движения в любой момент времени t

; .

При

, .

 

Рис. 5.

 

есть точка максимума, .

6. Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость

.

в точке ; не существует в точках . Эти точки могут быть абциссами точек перегиба.

Исследуем знак второй производной на интервале [0; ∞)

0 1

 

Рис. 6

не является точкой перегиба.

Основываясь на полученных результатах исследования, строим график функции на интервале [0; ∞), затем симметрично полученному графику относительно начала координат на интервале (- ∞; 0)

 

 

Рис. 7

 

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [-4; 4].

Решение. 1. Найдем критические точки функции , лежащие внутри отрезка [-4; 4], и вычислим ее значения в этих точках: ; в точках и . Эти точки лежат внутри отрезка [-4; 4] и являются критическими. Других критических точек нет, так как производная существует всюду. Значение функции в критических точках: и .

2. Вычислим значения функции на концах отрезка [-4; 4]: и .

3. Сравнивая все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка, заключаем: наибольшее значение функции на отрезке [-4; 4] равно 40 и достигается ею во внутренней критической точке , а ее наименьшее значение равно -41 и достигается на левой границе отрезка .

Во многих геометрических, физических и технических задачах требуется найти наибольшее или наименьшее значение величины, связанной функциональной зависимостью с другой величиной.

Для решения такой задачи следует, исходя из ее условия, выбрать независимую переменную, а затем найти искомое наибольшее или наименьшее значение полученной функции. При этом интервал изменения независимой переменной, который может быть конечным или бесконечным, также определяется из условия задачи.

 

Контрольная работа 2. Задания

 

1. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя. При решении примера (в) используйте формулы тригонометрии.

	а	б	в
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12.
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20.

 

2. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж функции.

2.1.	2.11.
2.2.	2.12.
2.3.	2.13.
2.4.	2.14.
2.5.	2.15.
2.6.	2.16.
2.7.	2.17.
2.8.	2.18.
2.20.	2.19.
2.10.	2.20.

 

3. Найти производные данных функций.

3.1. а) ; б) ; в) ; г) .

3.2. а) ; б) ;

в) ; г) .

3.3. а) ; б) ;

в) ; г) .

3.4. а) ; б) ;

в) ; г) .

3.5. а) ; б) ;

в) ; г) .

3.6. а) ; б) ;

в) ; г) .

3.7. а) ; б) ;

в) ; г) .

3.8. а) б) ;

в) ; г) .

3.9. а) ; б) ;

в) ; г) .