Предел и непрерывность функции

Практически предел функции находят не на основании определения предела функции, а на основании теорем о пределе функции.

Теорема. Если при существуют пределы функций и , то:

1. ;

2. ;

3. , где ;

4. , где - постоянный множитель.

Пример 7. Вычислить .

Решение. Так как

, а ,

то по теореме о пределе частного получаем, что .

Но не всегда можно применять теоремы о пределах без предварительного преобразования функций, стоящих под знаком предела. При этом возможны следующие неопределенные ситуации: , , , , .

Приемом раскрытия неопределенности вида является деление числителя и знаменателя на наивысшую степень x.

При неопределенности вида требуется выполнить преобразование функции, выделив в числителе и знаменателе дроби множитель, стремящийся к нулю. Затем сократить дробь на этот общий множитель.

Неопределенности же вида и путем преобразований приводят к одному из рассмотренных случав или . Поясним сказанное на примерах.

Пример 8. Вычислить .

Решение. Наивысшая степень x вторая, делим числитель и знаменатель на . Получим

, так как и .

Пример 9. Вычислить .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Получим

.

 

Пример 10. Вычислить .

Решение. Числитель и знаменатель дроби при стремятся к нулю. Преобразуем функцию, выделим общий множитель

.

Пример 11. Вычислить .

Решение. Так как , а , то имеет место неопределенность вида .

Выполним преобразования

.

Пример 12. Найти точки разрыва функции.

если

Решение. На интервалах , и функция непрерывна. Проверке подлежат только точки и .

Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке.

Рассмотрим точку . .

Вычислим односторонние пределы

, .

Так как односторонние пределы не совпадают, - точка разрыва функции.

Рассмотрим точку . ,

, ,

- точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности.

- точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности (рис. 5).

 

 

Рис. 3.

 

 

Производная

Пример 1. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:

4.

Решение.

1.

2. есть сложная функция.

, где .

Производная сложной функции имеет вид

или .

Следовательно,

.

- сложная функция.

, где , а ,

. 4.

4.

Функция от независимой переменной задана через посредство вспомогательной переменной (параметра t). Производная от по определяется формулой

.

Находим производные от и по параметру t:

, ,

.

 

Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке, где .

Решение. Уравнение касательной к кривой в точке

,

, .

Для определения углового коэффициента касательной находим производную

,

.

Подставляя значения в уравнение, получим

или .

Уравнение нормали

,

или .

Пример 3. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону . Определить скорость и ускорение движения в момент времени .

Решение. Найдем скорость и ускорение а движения в любой момент времени t

; .

При

, .