Дифференциал, производные высших порядков

Пример 1. Найти дифференциалы функций

1. ; 2. ,

вычислить .

Решение. Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал данной функции:

1. ;

2.

.

Свойства дифференцируемых функций

Пример. Найти пределы используя правило Лопиталя.

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Решение. Убедившись, что имеет место неопределенность или , применяем затем правило Лопиталя.

1.

;

2.

;

здесь правило Лопиталя применено дважды.

3.

;

4. .

 

Исследование поведения функций

Пример 1. Исследовать и построить график функции

.

Решение.

1. Заданная функция определена и непрерывна на всей числовой оси

.

2. Функция нечетная, ибо , ее график будет симметричен относительно начала координат. Поэтому достаточно построить график для .

3. График функции пересекается с осями координат только в начале координат, так как .

4. Исследуем функцию на наличие асимптот:

а) вертикальных асимптот график функции не имеет;

б) невертикальная асимптота имеет уравнение .

 

,

.

Таким образом, уравнение асимптоты .

5. Исследуем функцию на экстремум

.

нигде не обращается в нуль; не существует в точках , которые являются критическими.

Исследуем знак производной на интервале [0; ∞)

 

0 1

 

Рис. 5.

 

есть точка максимума, .

6. Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость

.

в точке ; не существует в точках . Эти точки могут быть абциссами точек перегиба.

Исследуем знак второй производной на интервале [0; ∞)

0 1

 

Рис. 6

не является точкой перегиба.

Основываясь на полученных результатах исследования, строим график функции на интервале [0; ∞), затем симметрично полученному графику относительно начала координат на интервале (- ∞; 0)

 

 

Рис. 7

 

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [-4; 4].

Решение. 1. Найдем критические точки функции , лежащие внутри отрезка [-4; 4], и вычислим ее значения в этих точках: ; в точках и . Эти точки лежат внутри отрезка [-4; 4] и являются критическими. Других критических точек нет, так как производная существует всюду. Значение функции в критических точках: и .

2. Вычислим значения функции на концах отрезка [-4; 4]: и .

3. Сравнивая все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка, заключаем: наибольшее значение функции на отрезке [-4; 4] равно 40 и достигается ею во внутренней критической точке , а ее наименьшее значение равно -41 и достигается на левой границе отрезка .

Во многих геометрических, физических и технических задачах требуется найти наибольшее или наименьшее значение величины, связанной функциональной зависимостью с другой величиной.

Для решения такой задачи следует, исходя из ее условия, выбрать независимую переменную, а затем найти искомое наибольшее или наименьшее значение полученной функции. При этом интервал изменения независимой переменной, который может быть конечным или бесконечным, также определяется из условия задачи.

 

Контрольная работа 2. Задания

 

1. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя. При решении примера (в) используйте формулы тригонометрии.

	а	б	в
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12.
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20.

 

2. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж функции.

2.1.	2.11.
2.2.	2.12.
2.3.	2.13.
2.4.	2.14.
2.5.	2.15.
2.6.	2.16.
2.7.	2.17.
2.8.	2.18.
2.20.	2.19.
2.10.	2.20.

 

3. Найти производные данных функций.

3.1. а) ; б) ; в) ; г) .

3.2. а) ; б) ;

в) ; г) .

3.3. а) ; б) ;

в) ; г) .

3.4. а) ; б) ;

в) ; г) .

3.5. а) ; б) ;

в) ; г) .

3.6. а) ; б) ;

в) ; г) .

3.7. а) ; б) ;

в) ; г) .

3.8. а) б) ;

в) ; г) .

3.9. а) ; б) ;

в) ; г) .

3.10.а) ; б) ;

в) ; г) .

3.11.а) ; б) ;

в) ; г) .

3.12.а) ; б) ;

в) ; г) .

3.13.а) ; б) ;

в) ; г) .

3.14.а) ; б) ;

в) ; г) .

3.15.а) ; б) ;

в) ; г)

3.16.а) ; б) ;

в) ; г) .

3.17.а) ; б) ;

в) ; г) .

3.18.а) ; б) ;

в) ; г) .

3.19.а) ; б) ;

в) ; г) .

3.20.а) ; б) ;

в) ; г) .

 

3. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.

4.1. ;	4.11. ;
4.2. ;	4.12. ;
4.3. ;	4.13. ;
4.4. ;	4.14. ;
4.5. ;	4.15. ;
4.6. ;	4.16. ;
4.7. ;	4.17. ;
4.8. ;	4.18. ;
4.9. ;	4.19. ;
4.10. ;	4.20. ;

 

 

При выполнении контрольной работы на титульном листе указывается:

 

фамилия, имя, отчество;

номер студенческого билета;

название дисциплины, номер контрольной работы, номер варианта.

 

Номер варианта соответствует последней цифре номера студенческого билета.

 

 

Перечень контрольных заданий по методичке кафедры

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА N 1 (методичка к/р 1,2)

Нечетный год поступления N 1(1 -10), 2(1 – 10), 3(1 – 10), 4(1 – 10).

Четный год поступления N 1(11 -20), 2(11 – 20), 3(11 – 20), 4(11 – 20).

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА N 2 (методичка к/р 1,2)

Нечетный год поступления N 1 (1 -10), 2 (1 - 10), 3 (1 - 10), 4 (1 - 10), 5(1 - 10).

Четный год поступления N 1 (11 -20), 2 (11 - 20), 3 (11 - 20), 4 (11 - 20), 5(11 - 20).