Линейные операции над векторами»

Блок «Матрицы»

 

1. А_nxn=(a_ij)

Сколько элементов расположено:

 

· Над главной диагональю:

· На главной диагонали:

· Под главной диагональю:

 

Ответ:

На главной диагонали:

Под главной диагональю::

Над главной диагональю::

 

2. Запишите матрицы А_3x3 элементы, которых a_ik определяются по форме:

 

1) a_ik=i+k;

2) a_ik=i∙k

3) a_ik=(i-k)²

4) a_ik=i²k+ik²

 

Совпадают ли элементы этих матриц расположенных симметрично относительно главной диагонали.

 

Ответ:

1) A=

 

2) A=

 

 

3) A=

 

4) A=

 

Да, совпадают.

3. Для каких матриц А_mxn существуют A+A^T

 

Ответ:

Для квадратных матриц.

 

4. Найти матрицу Х удовлетворяющую условию 3A+2X=E, где Е – единичная матрица 3-его порядка и матрица А равна:

 

А=

 

Ответ:

 

Х=

 

5. Известно, что A_2x3∙B_mxn=С_2x6. Найти m и n.

 

Ответ:

 

m=3; n=6

 

6. Даны матрицы A_2x3, B_3x1,C_3x3. Существую ли произведения: АВ, ВA, AC, CA, ABC, CB, CBA, АСВ.

 

Ответ:

 

Существуют: АВ, AC,АСВ,СВ;

Не существуют: ВА, СА, АВС, СВА.

 

 

7. Найти сумму матриц А+В, разность А-В, произведение А∙В и В∙А, если существует:

 

· А= В=

· А= В=

· А= В=

· А= В=

· А= В=

· А= В=

 

Ответ:

 

· A+B= A-B=

 

AB= BA=

· Не существует;

· Не существует;

· АВ=

· AB= BA=

· AB= A-B=

 

 

8. Найдите все матрицы перестановочные с матрицей:

А=

 

Ответ:

 

B=

 

9. Вычислить степень приведённых ниже матриц:

 

·

·

·

·

 

Ответ:

1.

2.

3.

4.

 

 

10. Используя равенства:

 

= ;

 

.

 

Вычислите

 

Ответ:

 

 

11. Докажите, что если матрицы А и В – перестановочные, то выполняется

 

(А+В)²=А²+2АВ+В²

(А+В)(А-В)=А²-В²

 

Верны ли эти равенства, если матрицы не являются перестановочными?

 

Ответ:

 

Если матрицы не перестановочные, равенство не выполняется.

 

12. Доказать, что если первая и вторая строки матрицы А равны, то первая и вторая строки матрицы АВ, так же равны.

 

13. Найдите f(A), если А=

1. f(x) = x²-2x+5

2. f(x)=x²-5x+10

3. f(x)=(2x⁵-4x²+7)∙(x²-5x+10)+x+5

 

Ответ:

1.

 

2..

 

 

3.

 

 

14. Вычислить определитель:

 

 

 

 

Ответ:

1. 11

2. -2

3. 34

4. 2b-a

5. 1

6. 100

7. -1

8. 27

 

15. Вычислить определитель αA, если α= , а det А_5x5=3

 

Ответ: 6

16. Дано:

185;

518;

851.

Докажите что определитель делится на 37 не вычисляя.

 

17. Вычислить определитель, раскладывая по элементам строки или столбцы, предварительно преобразовав их. Используя свойство определителя.

1)

 

2)

 

3)

 

4)

 

5)

 

6)

 

7)

 

Ответ:

 

1. 900

2. 297

3. 150

4. -35

5. 12

6. 8

7. -140

 

18. Вычислить определитель, предварительно преобразовав его.

 

1)

 

2)

 

 

3)

 

4)

 

 

Ответ:

 

1. 97

2. 110

3. 12

4. -84

 

19. Найти матрицы обратные данным. Полученный результат проверить, используя определение обратной матрицы

 

· А=

 

· А=

 

· А=

 

· А=

 

 

Ответ:

 

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

 

20. Проверить системы уравнений на совместность и в случае данных систем уравнений, решить их:

· Методом Гауса

· Методом Крамера

· Матричным методом

 

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

Ответ:

 

1. x=1 y=0 z=2

 

2. x= y= - z= -

 

3. Решений нет

 

4. Решений нет

 

5. x= y=1 z= -

 

21. Решить системы уравнений Методом Гауса;

 

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

Ответ:

1. Нет решений

2. x₁=1; х₂=0;х₃=-1;х₄=2

3. x₁=0; х₂=6;х₃=1;х₄=2;х₅=1

 

4. x_{1= ;} х₂=R; x_{3= ;} х₄=R

 

22. Решить системы уравнений и найти нормированную фундаментальную систему решений:

 

1.

 

2.

 

3.

 

Ответ:

1.

 

2.

 

3. НФСР – не существует. Решение тривиальное.

Блок «Вектор.

Линейные операции над векторами»

 

Деление отрезка в заданном отношении

 

Задача 1

Даны точки: А с координатами (3;-1) и В (2;1).

Определить:

1)Координаты точки М симметричной точке А, относительно точки В. 2)Координаты точки N симметричной точке В, относительно точки А.

 

Ответ: (4;-3) – координаты точки М;

Задача 2

Даны три вершины параллелограмма А (3;-5), В (5;-3), С (-1;3).

Определить вершину D противоположную В.

 

Ответ: (-3;1)

 

Задача 3

 

Даны вершины треугольника: А (1;4), В (3;-9), С (-5;2). Определить длину его медианы, проведённой из В.

 

Ответ: 13

 

Задача 4

Отрезок, ограниченный точками: А (1;-3) и В (4;2), разделён на 3 равные части. Определить координаты точек деления.

 

Ответ: (2;-1) и (3;1)

Задача 5

Даны вершины треугольника: А (3;-5), В (-3;3), С (-1;-2). Определить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

 

Ответ:

 

 

Полярная система координат

Задача 1

В полярной системе координат даны 2 вершины: А (3; ) и В (5; ) параллелограмма АВСD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить две другие вершины этого параллелограмма.

 

Ответ: D (5; и С (1;

 

Задача 2

В полярной системе координат даны точки: А (8; ) и В (6; ). Вычислить полярные координаты середины отрезка АВ.

 

Ответ: С (1;

 

Задача 3

 

В полярной системе координат даны две противоположные вершины квадрата: Р (6; и Q (4; ). Определить площадь квадрата.

 

Ответ: S=26+12

 

Задача 4

Полюс полярной системы координат совпадает с прямоугольной системой декартовых координат; а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс:

 

1) В полярной системе координат даны точки:

Определить, декартовы координаты этих точек.

 

2) В декартовой прямоугольной системе координат даны точки:

Определить полярные координаты этих точек.

 

 

Ответ:

 

Задача 5

Установить какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями:

 

1) , 2) , 3) , 4)

Ответ:

1) Окружность, 2) Луч, 3) Прямая,

4) Окружность R=5 с центром в точке (0;5).

 

Задача 1

Определить начало вектора (2;-3;-1), если его конец совпадает с точкой

(1;-1;2)

 

Ответ: (-1;2;3)

 

 

Задача 2

Дан модуль вектора =2 и углы, которые вектор образует с координатными осями ОХ: , ОУ: , OZ: .

Вычислить проекции на координатные оси.

 

Ответ: (;1;-1)

 

Задача 3

Вычислить направляющие с координатами (12;-15;-16).

 

Ответ: (;

 

Задача 4

Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы:

1) ,

2) ,

3) ,

 

Ответ: Могут 1 и 3.

 

Задача 5

Вектор составляет с осями ОХ и OZ углы: , . Какой угол он составляет с осью ОУ?

Ответ:

Задача 6

Вектор составляет с координатными осями ОХ и ОУ углы:

.

Вычислить его координаты при условии, что модуль вектора =2.

Ответ: (1;-1; )

 

Задача 1

 

Дано:

 

Найти:

 

Ответ: 22

 

Задача 2

 

Дано:

 

Найти:

 

Ответ: 20

 

Задача 3

Даны 2 вектора (3;-2;6) и (-2;1;0).

Определить проекцию на координатную ось .

 

Ответ: .

 

Задача 4

Проверить коллинеарность векторов (2;-1;3) и (-6;3;-9). Установить какой из них длиннее и во сколько раз.

Как они направлены: в одну или противоположные стороны?

 

Ответ:

 

Вектор длиннее вектора в 3 раза.

 

 

Задача 5

Определить при каких значениях векторы:

коллинеарны.

 

Ответ:

 

Задача 6

 

Проверить, что точки А (3;-1;2), В (1;2;-1), С (-1;1;-3), D (3;-5;3) служат вершинами трапеции.

 

 

Задача 7

Даны 3 вектора а (3;-1), b (1;-2), c (-1; 7).

Определить разложение вектора = по базису .

 

Ответ: p= -3

 

Задача 8

 

Даны 4 вектора (2;1;0), (1;-1;2), (2;2;-1), (3;7;-7).

Определить разложения каждого из этих 4-х векторов принимая в качестве базиса 3 остальных.

 

Ответ:

· 2 -3 -c

 

· -2 +3 +

 

· +

 

· -

 

Задача 1

Векторы взаимно перпендикулярны, образует с ними угол .

Зная, что =3, =5, =8 вычислить:

1)(

 

Ответ: 1)-62, 2)162, 3) -34

 

 

Задача 2

Векторы попарно образуют друг с другом углы, каждый их которых равен . Зная, что =4, =2, =6, определить =

 

Ответ: 10.

 

Задача 3

 

Векторы образуют угол, равный . Зная, что = , =1, вычислить угол между векторами:

р= ;

р=

 

Ответ: .

 

Задача 4

Даны векторы (4;-2;-4), (6;-3;2).

Вычислить ; ( (.

 

Ответ: 22;-200, 129

 

Задача 5

 

Даны силы (2;3;-5), Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда её точка приложения двигаясь прямолинейно перемещалась из положения (5;3;-7) в положение .

 

Ответ: 13.

 

Задача 6

 

Даны вершины треугольника: Определить его внутренний угол при вершине В.

 

Ответ:

 

Задача 7

Найти вектор коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию

 

Ответ: 56

 

Задача 8

 

Даны векторы

Найти вектор удовлетворяющий условию: ∙ =-5, ∙ =-11, ∙ =20.

 

Ответ: (2;3;-2).

 

Задача 9

Вычислить проекцию вектора с координатами (5;2;5) на ось вектора с координатами (2;-1;2)

 

Ответ: 6.

 

Задача 10

Даны вектора

Вычислить проекцию на вектор .

 

Ответ: -4.

 

Задача 11

Даны точки (-2;3;-4), (3;2;5), (1;-1;2), (3;2;-4).

Вычислить проекцию вектора на вектор .

 

Ответ: .

 

Задача 1

Даны векторы = 10, = 2, = 12.

Найти .

 

Ответ: 16

 

Задача 2

Даны векторы = 3, = 26, = 72.

Найти .

Ответ:

 

Задача 3

Векторы и образуют угол .

Зная, что = 1, = 2, вычислить:

 

и .

 

Ответ: 3 и 10

 

Задача 4

Даны вектор (3;-1;-2) и (1;2;-1).

Найти , .

 

Ответ: 1) (5;1;7), 2) (10;2;14), 3) (20;4;28).

 

Задача 5

 

Даны точки А (2;-1;2), В (1;2;-1), С (3;2;1).

Найти координаты векторных произведений и ( -2 ) .

 

Ответ: (6;-4;-6) (-12;8;12).

 

Задача 6

Даны точки А (1;2;0), В (3;0;-3), С (5;2;6).

Вычислить площадь треугольника АВС.

 

Ответ: 14

 

 

Задача 7

Даны вершины треугольника точки А (1;-1;2), В (5;-6;2), С (1;3;-1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на АС.

 

Ответ: 5

 

Задача 8

 

Вычислить sin угла, образованного векторами (2;-2;1), (2;3;6).

 

Ответ: .

 

Задача 1

Вектор перпендикулярен векторам и , угол между которыми . Зная, что =6, =3, =3, вычислить смешанное произведение

 

Ответ: 108

 

Задача 2

Вектора , образующие правую тройку взаимно перпендикулярны. Зная, что =4, =2, =3, вычислить смешанное произведение векторов

 

Ответ: 24

Задача 3

 

Установить компланарны ли векторы , если

1) (2;3;-1), (1;-1;3), (1;9;-11)

2) (3;-2;1), (2;1;2), (3;-1;-2)

3) (2;-1;2), (1;2;-3), (3;-4;7)

 

Ответ:

1) Вектора компланарны;

2) Вектора не компланарны;

3) Вектора компланарны.

 

Задача 4

Доказать, что точки А (1;2;-1), В (0;1;5), С (-1;2;1), D (2;1;3) лежат в одной плоскости.

 

Задача 5

Вычислить объём тетраэдра, вершины которого находятся в точках:

А (2;-1;1), В (5;5;4), С (3;2;-1), D (4;1;3).

 

Ответ: 3.

 

Задача 6

Даны вершины тетраэдра А (2;3;1), В (4;1;-2), С (6;3;7), D (-5;4;8).

Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.

 

Ответ: 28

 

Задача 7

 

Объём тетраэдра равен 5. Три его вершины находятся в точках А (2;1;-1), В (3;0;1), С (2;-1;3).

Найти координаты четвёртой вершины D, если известно, что она лежит на оси OY.

 

Ответ:

 

 

Уравнение плоскости

Задача 1

 

Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно вектору (5;0-3)

 

Ответ: 5х-3z=0

 

Задача 2

 

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (3;4;-5) параллельно векторам: (3;1;-1); (1;-2;1)

 

Ответ: 2x-y-z-6=0

 

Задача 3

 

Установить какие из следующих пар уравнений прямых параллельны плоскости:

1) 2x-3y+5z-7=0; 2x-3y+5z+3=0

2) 4x+2y-4z+5=0; 2x+y+2z-1=0

3) x-3z+2=0; 2x-z-7=0

 

Ответ: 1 – параллельны, 2 – не параллельны, 3 – параллельны

 

Задача 4

 

Определить при каком значении L следующие пары уравнений будут перпендикулярны плоскости:

1) 3х-5у+Lz-3=0; x+3y+2z+5=0

2) 5x+y-3z-3=0; 2x+Ly-3z+1=0

 

Ответ: 1) L=6; 2) L=-19

 

Задача 5

 

Составить уравнение плоскости, которая проходит через (3;-2;-7) параллельно плоскости

2x-3z+5=0.

 

Ответ: 2x-3z-27=0

 

 

Задача 6

 

Составить уравнение плоскости, которая проходит через (2;-1;1) перпендикулярно к двум плоскостям:

 

Ответ: x+2z-4=0

 

Задача 7

 

Плоскость проходит, через (6;-10;1) и отсекает на оси абсцисс отрезок

а=-3, на оси ординат с=2. Составить для плоскости уравнение в отрезках.

 

Ответ: + + =1

 

 

Задача 8

 

Найти расстояние от Р(-1;1;-2) до плоскости, проходящей через 3 точки:

1) (1;-1;1)

2) (-2;1;3)

3) (4;-5;-2)

 

Ответ: 4.

 

Задача 1

 

Даны уравнения двух сторон параллелограмма: 8х+3у+1=0 и 2х+у-1=0. Уравнение одной из диагоналей 3х+2у+3=0. Определить координаты вершин параллелограмма.

 

Ответ: A(2, 4), B(-3, 7), C(-6, 6), E(-2, 5).

 

Задача 2

Найти точку Q симметричную точке D (5; 13) относительно прямой

2х-3у-3=0

 

Ответ: (13;8)

 

Задача 3

 

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С (4; -1), а также уравнение высоты: 2х-3у+12=0 и медианы 2х+3у=0, проведённой их первой вершины.

 

Ответ:

1. уравнение АВ имеет вид 9х+11у+5=0

2. уравнение АС имеет вид 3х+7у-5=0

3. уравнение ВС имеет вид 3х+2у-10=0

 

Задача 4

 

Определить при каких значениях m и n, две прямые:

х+8у+n=0

2x+my-1=0

 

1) Параллельны

2) Совпадают

3) Перпендикулярны

 

Ответ:

 

 

 

 

 

Задача 5

Определить угол, образованный двумя прямыми:

1) 3х-у+5=0, 2х+у-7=0

2)х +у -2=0, х -3у+3=0

 

Ответ:

· 30^о

· 45^o

Блок «Гипербола»

Задача 1

Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

· Её оси 2a=10 и 2b=8;

· Расстояние между фокусами 2c=10 и ось 2b=8;

· Расстояние между фокусами 2c=6 и эксцентриситет = ;

· Ось 2a=16 и эксцентриситет = ;

· Уравнения асимптот и расстояние между фокусами 2c=20;

· Расстояние между директрисами равно и расстояние между фокусами 2c=26;

· Расстояние между директрисами равно и ось 2b=6;

· Расстояние между директрисами равно и эксцентриситет = ;

· Уравнения асимптот и расстояние между директрисами

равно .

 

Ответ:

·

·

·

·

·

·

·

·

·

 

Задача 2

Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

 

· Её полуоси a=6, b=18 (буквой “a” мы обозначаем полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс);

· Расстояние между фокусами 2c=10 и эксцентриситет = ;

· Уравнения асимптот и расстояние между вершинами равно 48.

· Расстояние между директрисами равно и эксцентриситет = ;

· Уравнения асимптот и расстояние между директрисами

равно .

 

Ответ:

·

·

·

·

 

 

Задача 3

 

Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты её центра C, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис:

 

1) 16 -9 -64x-54y-161=0