Деление отрезка В заданном отношении

 

Задача 1

Даны точки: А с координатами (3;-1) и В (2;1).

Определить:

1)Координаты точки М симметричной точке А, относительно точки В. 2)Координаты точки N симметричной точке В, относительно точки А.

 

Ответ: (4;-3) – координаты точки М;

Задача 2

Даны три вершины параллелограмма А (3;-5), В (5;-3), С (-1;3).

Определить вершину D противоположную В.

 

Ответ: (-3;1)

 

Задача 3

 

Даны вершины треугольника: А (1;4), В (3;-9), С (-5;2). Определить длину его медианы, проведённой из В.

 

Ответ: 13

 

Задача 4

Отрезок, ограниченный точками: А (1;-3) и В (4;2), разделён на 3 равные части. Определить координаты точек деления.

 

Ответ: (2;-1) и (3;1)

Задача 5

Даны вершины треугольника: А (3;-5), В (-3;3), С (-1;-2). Определить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

 

Ответ:

 

 

Полярная система координат

Задача 1

В полярной системе координат даны 2 вершины: А (3; ) и В (5; ) параллелограмма АВСD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить две другие вершины этого параллелограмма.

 

Ответ: D (5; и С (1;

 

Задача 2

В полярной системе координат даны точки: А (8; ) и В (6; ). Вычислить полярные координаты середины отрезка АВ.

 

Ответ: С (1;

 

Задача 3

 

В полярной системе координат даны две противоположные вершины квадрата: Р (6; и Q (4; ). Определить площадь квадрата.

 

Ответ: S=26+12

 

Задача 4

Полюс полярной системы координат совпадает с прямоугольной системой декартовых координат; а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс:

 

1) В полярной системе координат даны точки:

Определить, декартовы координаты этих точек.

 

2) В декартовой прямоугольной системе координат даны точки:

Определить полярные координаты этих точек.

 

 

Ответ:

 

Задача 5

Установить какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями:

 

1) , 2) , 3) , 4)

Ответ:

1) Окружность, 2) Луч, 3) Прямая,

4) Окружность R=5 с центром в точке (0;5).

 

Вектор. Линейные операции над векторами.

 

Задача 1

Определить начало вектора (2;-3;-1), если его конец совпадает с точкой

(1;-1;2)

 

Ответ: (-1;2;3)

 

 

Задача 2

Дан модуль вектора =2 и углы, которые вектор образует с координатными осями ОХ: , ОУ: , OZ: .

Вычислить проекции на координатные оси.

 

Ответ: (;1;-1)

 

Задача 3

Вычислить направляющие с координатами (12;-15;-16).

 

Ответ: (;

 

Задача 4

Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы:

1) ,

2) ,

3) ,

 

Ответ: Могут 1 и 3.

 

Задача 5

Вектор составляет с осями ОХ и OZ углы: , . Какой угол он составляет с осью ОУ?

Ответ:

Задача 6

Вектор составляет с координатными осями ОХ и ОУ углы:

.

Вычислить его координаты при условии, что модуль вектора =2.

Ответ: (1;-1; )

 

Линейные операции над векторами

Задача 1

 

Дано:

 

Найти:

 

Ответ: 22

 

Задача 2

 

Дано:

 

Найти:

 

Ответ: 20

 

Задача 3

Даны 2 вектора (3;-2;6) и (-2;1;0).

Определить проекцию на координатную ось .

 

Ответ: .

 

Задача 4

Проверить коллинеарность векторов (2;-1;3) и (-6;3;-9). Установить какой из них длиннее и во сколько раз.

Как они направлены: в одну или противоположные стороны?

 

Ответ:

 

Вектор длиннее вектора в 3 раза.

 

 

Задача 5

Определить при каких значениях векторы:

коллинеарны.

 

Ответ:

 

Задача 6

 

Проверить, что точки А (3;-1;2), В (1;2;-1), С (-1;1;-3), D (3;-5;3) служат вершинами трапеции.

 

 

Задача 7

Даны 3 вектора а (3;-1), b (1;-2), c (-1; 7).

Определить разложение вектора = по базису .

 

Ответ: p= -3

 

Задача 8

 

Даны 4 вектора (2;1;0), (1;-1;2), (2;2;-1), (3;7;-7).

Определить разложения каждого из этих 4-х векторов принимая в качестве базиса 3 остальных.

 

Ответ:

· 2 -3 -c

 

· -2 +3 +

 

· +

 

· -

 

Скалярное произведение векторов

Задача 1

Векторы взаимно перпендикулярны, образует с ними угол .

Зная, что =3, =5, =8 вычислить:

1)(

 

Ответ: 1)-62, 2)162, 3) -34

 

 

Задача 2

Векторы попарно образуют друг с другом углы, каждый их которых равен . Зная, что =4, =2, =6, определить =

 

Ответ: 10.

 

Задача 3

 

Векторы образуют угол, равный . Зная, что = , =1, вычислить угол между векторами:

р= ;

р=

 

Ответ: .

 

Задача 4

Даны векторы (4;-2;-4), (6;-3;2).

Вычислить ; ( (.

 

Ответ: 22;-200, 129

 

Задача 5

 

Даны силы (2;3;-5), Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда её точка приложения двигаясь прямолинейно перемещалась из положения (5;3;-7) в положение .

 

Ответ: 13.

 

Задача 6

 

Даны вершины треугольника: Определить его внутренний угол при вершине В.

 

Ответ:

 

Задача 7

Найти вектор коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию

 

Ответ: 56

 

Задача 8

 

Даны векторы

Найти вектор удовлетворяющий условию: ∙ =-5, ∙ =-11, ∙ =20.

 

Ответ: (2;3;-2).

 

Задача 9

Вычислить проекцию вектора с координатами (5;2;5) на ось вектора с координатами (2;-1;2)

 

Ответ: 6.

 

Задача 10

Даны вектора

Вычислить проекцию на вектор .

 

Ответ: -4.

 

Задача 11

Даны точки (-2;3;-4), (3;2;5), (1;-1;2), (3;2;-4).

Вычислить проекцию вектора на вектор .

 

Ответ: .

 

Векторное произведение векторов

Задача 1

Даны векторы = 10, = 2, = 12.

Найти .

 

Ответ: 16

 

Задача 2

Даны векторы = 3, = 26, = 72.

Найти .

Ответ:

 

Задача 3

Векторы и образуют угол .

Зная, что = 1, = 2, вычислить:

 

и .

 

Ответ: 3 и 10

 

Задача 4

Даны вектор (3;-1;-2) и (1;2;-1).

Найти , .

 

Ответ: 1) (5;1;7), 2) (10;2;14), 3) (20;4;28).

 

Задача 5

 

Даны точки А (2;-1;2), В (1;2;-1), С (3;2;1).

Найти координаты векторных произведений и ( -2 ) .

 

Ответ: (6;-4;-6) (-12;8;12).

 

Задача 6

Даны точки А (1;2;0), В (3;0;-3), С (5;2;6).

Вычислить площадь треугольника АВС.

 

Ответ: 14

 

 

Задача 7

Даны вершины треугольника точки А (1;-1;2), В (5;-6;2), С (1;3;-1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на АС.

 

Ответ: 5

 

Задача 8

 

Вычислить sin угла, образованного векторами (2;-2;1), (2;3;6).

 

Ответ: .