Экстремум дифференцируемой функции



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Экстремум дифференцируемой функции



Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна. Тогда

если при и при , то х0- точка максимума;

 

· если при и при , то х0 - точка минимума.

Другими словами:

· если в точке х0 функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то х0 - точка максимума;

· если в точке х0 функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 - точка минимума.

Билет 24. Алгебра матриц, операции над матрицами и их свойстваМатрица - это совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Чтобы отличать матрицу по внешнему виду от определителя, ее заключают в квадратные скобки. Каждый элемент матрицы снабжают двумя индексами: первый соответствует номеру строки, второй - номеру столбца.

матрицу называют квадратной, если число строк в ней равно числу столбцов

Диагональной называют матрицу, у которой элементы главной диагонали не равны нулю, а все остальные - нули, например: Матрицу, у которой элементы главной диагонали равны единице, а все остальные - нули, называют единичной:

Неопределенной называют матрицу, у которой сумма элементов любой строки и любого столбца равна нулю. Две матрицы равны, если равны соответствующие элементы этих матриц.

Матрица равна матрице , если а11=b11, al2=bl2, а21=b21, a22=b22.

У равных матриц равны определители. В рассматриваемом примере a11a22 - a12a21 = b11b22 - b12b21, но из равенства двух определителей еще не следует равенства самих матриц. Операции над матрицами (их сложение, умножение) постулированы из соображений рациональности. При сложении (вычитании) матриц следует сложить (вычесть) соответствующие элементы этих матриц:

При умножении двух матриц (число столбцов первой должно быть равно числу строк второй) i-ю строку первой матрицы умножают на k-й столбец второй. Умножим две матрицы, элементами которых являются числа

Руководствуясь приведенным правилом, нетрудно убедиться в том, что [А][В] ≠ [B][A], т.е. результирующая матрица зависит от последовательности расположения матриц сомножителей. По отношению к матрице [A], когда ее определитель не равен нулю, можно составить обратную матрицу [А]-1. Для этого необходимо: а) каждый элемент исходной матрицы [A] заменить его алгебраическим дополнением; б) транспонировать полученную матрицу, т. е. строки сделать столбцами; в) разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы [А].

26. соответственно ко второй и третьей строкам Вторую строку умножаем на и прибавляем к третьей Возвращаемся к системе уравнений Базисный минор матрицы находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальная система содержит только одно решение. Переменные и оставляем в левой части, а переменное переносим в правую часть Полагаем , находим , . Итак, собственному числу соответствует собственный вектор . Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу соответствует собственный вектор . Ответ: Собственные числа: , , соответствующие собственные векторы: , .

 

15.Интегрирование по частям - Пусть - непрерывно дифференцируемыефункции. Тогда справедлива формула интегрирования по частям . Название “по частям” связано с тем, что для записи интеграла в правой части нужно проинтегрировать “часть” подынтегрального выражения в левой части. Метод интегрирования по частям используется для интегралов вида , , , и некоторых других. 19.Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница: Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).

Пусть f (x) непрерывна на [a; b], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β], Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

21.

Несобственные интегралы
 
Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: 1.Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными; 2.Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].

24. Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.Матрицей A=Amn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Элементы матрицы aij,у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a11, a22,..., ann .Равенство матриц.A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и aij=bij(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n) Действия над матрицами. 1.Сложение м атриц - поэлементная операция 2.Вычитание матриц - поэлементная операция 3.Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)Amk*Bkn=Cmn причем каждый элемент сijматрицы Cmn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е. Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц . 6.транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают AT или A' Строки и столбцы поменялись местамиПример Свойства опрераций над матрицами 1.A+B=B+A 2.(A+B)+C=A+(B+C) 3.λ(A+B)=λA+λB4.A(B+C)=AB+AC 5.(A+B)C=AC+BC6.λ(AB)=(λA)B=A(λB) 7.A(BC)=(AB)C 8.(A')'=A 9.(λA)'=λ(A)' 10.(A+B)'=A'+B' 11.(AB)'=B'A' Виды матриц1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа 2. Квадратные: m=n3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором 4. Матрица столбец: n=1. Например 5. Диагональная матрица: m=n и aij=0, если i≠j. 6. Единичная матрица: m=n и 7. Нулевая матрица: aij=0, i=1,2,...,m j=1,2,...,n 8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.Пример. 9. Симметрическая матрица:m=n и aij=aji(т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательноA'=AНапример, 10. Кососимметрическая матрица: m=n и aij=-aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=jимеем aii=-aii)Пример.

Ясно,A'=-A11. Эрмитова матрица: m=n и aii=-ãii (ãji- комплексно - сопряженное к aji, т.е. если A=3+2i, то комплексно - сопряженное Ã=3-2i)Пример



Последнее изменение этой страницы: 2016-09-05; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.237.16.210 (0.01 с.)