Экстремум дифференцируемой функции

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки, а в самой точке непрерывна. Тогда

если при и при , то х₀ - точка максимума;

· если при и при , то х₀ - точка минимума.

Другими словами:

· если в точке х₀ функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то х₀ - точка максимума;

· если в точке х₀ функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то х₀ - точка минимума.

Билет 24. Алгебра матриц, операции над матрицами и их свойства Матрица - это совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Чтобы отличать матрицу по внешнему виду от определителя, ее заключают в квадратные скобки. Каждый элемент матрицы снабжают двумя индексами: первый соответствует номеру строки, второй - номеру столбца.

матрицу называют квадратной, если число строк в ней равно числу столбцов

Диагональной называют матрицу, у которой элементы главной диагонали не равны нулю, а все остальные - нули, например: Матрицу, у которой элементы главной диагонали равны единице, а все остальные - нули, называют единичной:

Неопределенной называют матрицу, у которой сумма элементов любой строки и любого столбца равна нулю. Две матрицы равны, если равны соответствующие элементы этих матриц.

Матрица равна матрице , если а₁₁=b₁₁, a_l2=b_l2, а₂₁=b₂₁, a₂₂=b₂₂.

У равных матриц равны определители. В рассматриваемом примере a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁ = b₁₁b₂₂ - b₁₂b₂₁, но из равенства двух определителей еще не следует равенства самих матриц. Операции над матрицами (их сложение, умножение) постулированы из соображений рациональности. При сложении (вычитании) матриц следует сложить (вычесть) соответствующие элементы этих матриц:

При умножении двух матриц (число столбцов первой должно быть равно числу строк второй) i -ю строку первой матрицы умножают на k -й столбец второй. Умножим две матрицы, элементами которых являются числа

Руководствуясь приведенным правилом, нетрудно убедиться в том, что [А][В] ≠ [B][A], т.е. результирующая матрица зависит от последовательности расположения матриц сомножителей. По отношению к матрице [A], когда ее определитель не равен нулю, можно составить обратную матрицу [А]^-1. Для этого необходимо: а) каждый элемент исходной матрицы [A] заменить его алгебраическим дополнением; б) транспонировать полученную матрицу, т. е. строки сделать столбцами; в) разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы [А].

26. соответственно ко второй и третьей строкам Вторую строку умножаем на и прибавляем к третьей Возвращаемся к системе уравнений Базисный минор матрицы находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальная система содержит только одно решение. Переменные и оставляем в левой части, а переменное переносим в правую часть Полагаем , находим , . Итак, собственному числу соответствует собственный вектор . Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу соответствует собственный вектор . Ответ: Собственные числа: , , соответствующие собственные векторы: , .

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).

Пусть f (x) непрерывна на [ a; b ], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β], Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

Если функции u (x) и v (x) имеют на [ a; b ] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

21.

Несобственные интегралы

Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: 1.Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными; 2.Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [ a,b ].

24. Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц. Матрицей A=A_mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Элементы матрицы a_ij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,..., a_nn. Равенство матриц.A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и a_ij=b_ij(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n) Действия над матрицами. 1.Сложение м атриц - поэлементная операция 2.Вычитание матриц - поэлементная операция 3.Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B) A_mk*B_kn=C_mn причем каждый элемент с_ij матрицы C_mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B, т.е. Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц. 6.транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A^T или A' Строки и столбцы поменялись местами Пример Свойства опрераций над матрицами 1. A+B=B+A 2. (A+B)+C=A+(B+C) 3.λ(A+B)=λA+λB 4. A(B+C)=AB+AC 5.(A+B)C=AC+BC 6. λ(AB)=(λA)B=A(λB) 7. A(BC)=(AB)C 8. (A')'=A 9. (λA)'=λ(A)' 10. (A+B)'=A'+B' 11. (AB)'=B'A' Виды матриц1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа 2. Квадратные: m=n3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором 4. Матрица столбец: n=1. Например 5. Диагональная матрица: m=n и a_ij=0, если i≠j. 6. Единичная матрица: m=n и 7. Нулевая матрица: a_ij=0, i=1,2,...,m j=1,2,...,n 8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.Пример. 9. Симметрическая матрица: m=n и a_ij=a_ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A'=A Например, 10. Кососимметрическая матрица: m=n и a_ij=-a_ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем a_ii=-a_ii)Пример.

Ясно, A'=-A 11. Эрмитова матрица: m=n и a_ii=-ã_ii (ã_ji - комплексно - сопряженное к a_ji, т.е. если A=3+2i, то комплексно - сопряженное Ã=3-2i)Пример

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?