Указания к выполнению контрольной работы № 3

Тема 1. Неопределенный интеграл

Прежде чем приступить к интегрированию функций, тщательно изучите таблицу интегралов, простейшие свойства неопределенного интеграла и два простейших метода интегрирования: метод замены переменной и способ подстановки. Успех интегрирования в значительной степени зависит от того, сумеем ли мы подобрать удачную замену переменной упрощающую данный интеграл.

При использовании метода интегрирования по частям очень важно правильно выбрать множители u и dv. Хотя общих правил разбиения подынтегрального выражения на указанные множители нет, тем не менее можно руководствоваться некоторыми частными правилами. Например, если подынтегральная функция представляет собой произведение показательной и ли тригонометрической функции и многочлена, то в качестве множителя u следует выбирать многочлен. Если же подынтегральная функция является произведением логарифмической или обратной тригонометрической функции и многочлена, то в качестве множителя u следует выбрать логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.

При интегрировании выражения, содержащего в знаменателе квадратный трехчлен, целесообразно привести этот трехчлен к виду с выделенным полным квадратом.

При интегрировании рациональных дробей (в задачах № 221‑240) основная трудность заключается в умении интегрировать правильные рациональные дроби следующих трех типов:

(k – целое положительное число, меньшее, чем 2);

(корни знаменателя невещественные, т.е. p² - 4q < 0).

 

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение первообразной.

2. Каковы основные свойства неопределенного интеграла?

3. Укажите целесообразные подстановки для отыскания интегралов:

, , ,

, , .

4. Выведите формулу интегрирования по частям.

5. Объясните правило разложения рациональной дроби на простейшие.

 

 

Тема 2. Определенный интеграл

При решении задач контрольной работы следует иметь в виду, что для вычисления площади, ограниченной кривыми y = f₁(x), y = f₂(x), (f₁(x) f₂(x)) и прямыми х = а, х = b, следует пользоваться формулой:

.

При этом данная формула остается верной при любых знаках значений функций f₁(x), f₂(x).

При вычислении площади фигуры, ограниченной кривой, уравнение задано в полярных координатах, полезно кривую изобразить в системе координат.

 

Вопросы для самопроверки

1. Что называется интегральной суммой данной функции f(x) на данном отрезке [ a, b ]?

2. Дайте определение определенного интеграла.

3. Каков геометрический смысл определенного интеграла от заданной функции?

4. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

5. Напишите формулу Ньютона – Лейбница.

6. В чем состоит способ подстановки для вычисления определенного интеграла?

7. Как выглядит формула интегрирования по частям для определенного интеграла?

8. Как вычислить площадь криволинейного сектора в полярных координатах?

9. Запишите формулы для вычисления длины дуги кривой в декартовых и в полярных координатах.

10. Приведите формулу для вычисления объема тела с известными площадями его поперечных сечений.

11. Запишите формулу для вычисления объема тела вращения.

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

В задачах 161-180 найти неопределенные интегралы способом подстановки (методом замены переменной).

161.	171.
162.	172.
163.	173.
164.	174.
165.	175.
166.	176.
167.	177.
168.	178.
169.	179.
170.	180.

Решение типовых примеров.

1. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Применим подстановку . Тогда и

.

 

2. Найти интеграл .

Решение. Применим подстановку . Тогда ; , откуда

.

 

 

В задачах 181‑200 найти неопределенные интегралы, используя выделение полного квадрата.

181. . 182. . 183. . 184. . 185. . 186. . 187. . 188. . 189. . 190. .

191. . 192. . 193. . 194. . 195. . 196. . 197. . 198. . 199. . 200. .

Решение типового примера. Найти интеграл .

Решение. Преобразуем знаменатель дроби, стоящей под знаком интеграла следующим образом:

х² - 4х + 8 = х² – 4х + 4 = (х – 2)² + 2².

Тогда после подстановки получаем

 

При этом при вычислении интеграла мы воспользовались заменой переменной . Тогда , откуда

.

 

В задачах 201‑220 найти неопределенные интегралы, применяя метод интегрирования по частям.

201. . 202. . 203. . 204. . 205. . 206. . 207. . 208. . 209. . 210. .

211. . 212. . 213. . 214. . 215. . 216. . 217. . 218. . 219. . 220. .

Решение типовых примеров.

1. Найти интеграл .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям

.

Положим, что . Тогда . Следовательно,

 

Найти интеграл .

Решение. Положим . Тогда . Отсюда

.

Применяя в последнем интеграле подстановку , получаем ,

следовательно,

Отсюда,

 

В задачах 221‑240 найти неопределенные интегралы, пользуясь разложением рациональных дробей на простейшие.

221. . 222. . 223. . 224. .	231. . 232. . 233. . 234. .
225. . 226. . 227. . 228. . 229. . 230. .	235. . 236. . 237. . 238. . 239. . 240..

 

Решение типовых примеров.

1. Найти интеграл .

Решение. Разложим знаменатель на множители: .

Тогда

Освобождаемся от знаменателя:

.

Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:

х² 0 = А + В; А = -В;

х¹ 1 = А – В + С;

х⁰ 0 = А – С; А = С.

Из второго уравнения получаем

1 = А + А + А = 3А; А = .

Отсюда А = ; В = - ; С = .

Следовательно,

Воспользуемся равенством

х² + х + 1 = х² + 2*

После замены переменной t = x + , dt = dx, x = t - и

Ответ:

 

2. Найти интеграл

Решение. Из равенства

получаем .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :

х² 0 = А + В; А = -В;

х¹ 1 = А – В + С;

х⁰ 0 = А – С; А = С.

Отсюда А = ; В = - ; С = . Таким образом,

 

В задачах 241‑260 вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными параболами.

241. у= х^2+ х + 2 у= - х^2 – 5х + 7	251. у= х^2+ 3х - 2 у= - х^2 – х + 3
242. у = -х^2 + 4х – 1 у = х + 2х + 9	252. у = 3х^2 + 5х – 2 у = -3 х – 4х – 3
243. у= 2х^2+ 6х - 3 у= - х + х + 5	253. у= х^2 – 3х – 4 у= - х – х + 8
244. у = х^2 + 2х – 2 у = - х^2 - 2х – 3	254. у =- х^2 + 2х – 5 у = х^2 – 2х+ 7
245. у= х^2 – 3х – 1 у= -х^2 – 2х + 5	255. у= 2х^2 + 4х – 7 у= -х^2 – х +1
246. у = х^2 + 3х – 5 у = -х^2 + 3х + 2	256. у = -х^2 + 2х – 1 у = 2х^2 + 2х + 5
247. у= х^2 – 2х + 4 у= - х^2 – х + 2	257. у = х^2 + 2х – 5 у = - х^2 - 3х + 3
248. у= 2х^2 – 6х – 2 у= -х^2 + х – 4	258. у = 2х^2 + 8х – 5 у = -2х^2 + 6х – 3
249. у = х^2 + 5х – 3 у = - х^2 – 7х + 4	259. у= х^2- 3х– 2 у= - х^2 – 7х + 3
250. у = х^2 +5х – 2 у = -х^2 – 3х + 2	260. у= х^2 – 2х – 5 у= -х^2 – х + 1

Решение типового примера. Вычислить площадь, ограниченную параболами (рис. 4))

у = 2х² – х – 2;

у = -х² + х – 1.

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:

2х² – х – 2 = -х² + х – 1.

Отсюда 3х² – 2х – 1 = 0, D = 16,

х₁ = , х₂ = .