Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.

Теорема сложения вероятностей: вероятность двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B).

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. P(A1+A2+..+An)=1-P(неА1неА2…неАn).

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, наступило событие В или нет. В противном случае событие А называется зависимым от события В.

Аддитивность – вероятность сумм несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Условная вероятность – это вероятность наступления события А, при условии, что событие В наступило. P(A/B).

Теорема умножения вероятностей: вероятность произведения (пересечения) двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого. P(A*B)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B).

Суммой событий А и В называется событие, обозначающее А+В и состоящее в том, что в результате опыта наступит или событие А, или событие В, или оба вместе.

Произведением двух событий А и В называется событие, обозначающее АВ и состоящее в том, что в результате опыта наступит и событие А, и событие В.

 

Независимые события.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, наступило событие В или нет. В противном случае событие А называется зависимым от события В.

События А и В -независимы. P(A*B)= P(A)* P(B/A)= P(A)* P(B).

ТЕОРЕМА: для двух событий верна формула P(A*B)= P(A)* P(B), то события А и В являются независимыми.

ЛЕММА: Если событие В не зависит от события А, то событие А не зависит от события В.

ЛЕММА: Если события А и В независимы, то независимы и события не А и В, А и не В.

ЛЕММА: Если события А и В независимы, то независимы не А и не В.

Понятие независимых событий – одно из центральный в теории вероятностей.

Понятие независимости может быть распространено на случай n событий.

Опр. События А1, А2,…Аn называются независимыми (или независимыми в совокупности), если каждое из них не зависит от произведения любого числа остальных событий и от каждого в отдельности.

ТЕОРЕМА: Если события А1, А2,…Аn независимы в совокупности, то вероятность их одновременного появления вычисляется по формуле: P(A1*A2*A3)= P(A1) * P(A2) * P(A3)

 

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Формула полной вероятности.

Пусть событие А может наступить только вместе с одним из событий Н₁, Н₂,...,Нn, образующих полную группу событий и имеющих соответственно вероятность Р(Н₁), Р(Н₂),...Р(Н_n). Если Р(А/Н₁), Р(А/Н₂),....Р(А/Н_n)-условные вероятности события А при условии, что событие Н₁, Н₂,...Нn наступили, то тогда вероятность Р(А) события А равна сумме произведений вероятностей событий Н_k на соответствующие условные вероятности Р(А/Н_k), т.е.

P(A)=P(H₁)P(A/H₁)+P(H₂)P(A/H₂)+...P(H_n)P(A/H_n)

Формула Байеса.

Пусть событие А может наступить только вместе с одним из событий Н₁, Н₂,...,Нn, образующих полную группу событий и имеющих соответственно вероятность Р(Н₁), Р(Н₂),...Р(Н_n). Если Р(А/Н₁), Р(А/Н₂),....Р(А/Н_n)-условные вероятности события А при условии, что событие Н₁, Н₂,...Нn наступили, то тогда вероятности события Н1, Н2,...Нn при условии, что событие А наступило, находится по формуле

События А1, А2…Аn образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и вместе образуют достоверное событие.

 

Независимые испытания Бернулли. Схема Бернулли.

Испытания называются независимыми - если исходы одних испытаний не влияют на исходы других

Пусть имеется некоторый элементарный опыт. В результате опыта может произойти или не произойти некоторое событие А с вероятностью P(A)=p, P()=q=1-p.

Появление А будем считать "успехом", а непоявление А — «неуспехом». Повторим этот элементарный опыт n раз, в этом n - кратном повторении состоит основной эксперимент, который назовем независимыми испытаниями Бернулли. Введем случайную величину ξ -количество «успехов» в n испытаниях случайного события А. Ясно, что ξ может принимать значения 0, 1,..., n. Оказывается, вероятность получить k "успехов" равна (1)

Покажем справедливость этой формулы для n = 3 и k = 2. Для эксперимента, состоящего из n = 3 испытаний, имеем 8 исходов: ω₁=(0,0,0); ω₂=(0,0,1); …; ω₈=(1,1,1);

Событию {ξ = 2} благоприятствует исхода (1,1,0), (1,0,1) и (0,1,1), причем в силу независимости трех испытаний P(1,1,0)=P(1,0,1)=P(0,1,1)=p²q,

Схема Бернулли.

Последовательность n-независимых испытаний, в каждой из которых может произойти событие А с вероятностью р, а может произойти не А с вероятностью q, q=1-p=P(A)

Формула Бернулли.

Если производится n-независимых испытаний в схеме Бернулли, тогда вероятность того, что событие А произойдет n-раз, определяется формулой