Доказательство. По свойству характеристической функции

- что есть характеристическая функция случайной величины, распределенной по .

Свойство 4. Если независимы и имеют стандартное нормальное распределение, то Доказательство. Вытекает из свойств 2 и 3.

Бе́та-распределе́ние в теориивероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом. Бета распределение. Бета-распределение часто используется для описания процессов, обладающих естественными нижним и верхним пределами. Бета распределения определяется формулой:

f(x) = ( + )/( () ()) * x ^-1 * (1-x) ^-1 0 x 1
>0, >0где - гамма -функция , - параметры (формы)

Интервальные статистические оценки. Точные доверительные интервалы. Асимптотические доверительные интервалы.

Понятие интервальной оценки

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра. Поэтому при небольшом объеме выборки следует пользоваться так называемыми интервальными оценками.

Статистическая оценка называется интервальной, если она выражается двумя числами – концами интервала , покрывающего оцениваемый параметр . Уточнение понятия интервальной оценки требует введения ряда важных сопровождающих понятий.

Точность оценки. Надежность оценки. Доверительный интервал:Пусть – неизвестный оцениваемый параметр теоретического распределения признака Cгенеральной совокупности ( есть постоянное число), – его точечная статистическая оценка, найденная по данным выборки ( – случайная величина, меняющаяся от выборки к выборке). Ясно, что оценка тем точнее определяет параметр , чем меньше модуль разности . Если рассмотреть неравенство , то число будет характеризовать точность оценки (чем меньше , тем оценка точнее).

Итак, точностью оценки называется такое положительное число , которое удовлетворяет неравенству .Поскольку точечная оценка является случайной величиной, мы не можем абсолютно доверительно утверждать, что оценка будет (при заданной точности ) удовлетворять неравенству . Это неравенство является случайным событием и, следовательно, оно может осуществляться лишь с некоторой вероятностью.

Надежностью (или доверительной вероятностью) оценки называется вероятность , с которой выполняется неравенство , т.е.

(1)На практике надежность назначается (задается наперед): это достаточно большая вероятность (0,95; 0,99; 0,999) – такая, чтобы событие с вероятностью можно было считать практически достоверным. Выбор величины диктуется особенностями каждой конкретно рассматриваемой задачи.

Так как неравенство равносильно неравенству , то формулу (1) можно истолковать следующим образом: с заданной надежностью интервал накрывает неизвестный оцениваемый параметр . Таким образом, мы приходим к следующему основному определению:

доверительным интервалом для оцениваемого параметра называется интервал вида , накрывающий неизвестный параметр с заданной надежностью (рис.10.).
Границы и этого интервала называют доверительными границами.

В случае "больших" выборок () стандартными в теории вероятностей методами доказывается, что искомая точность вычисляется по формуле

, (2)где величина определяется по специальной таблице значений функции Лапласа, исходя из равенства

.Сам же искомый доверительный интервал имеет вид В случае "малых" выборок () доказывается, что точностьоценивания находится по формуле ,где величина определяется по специальной таблице Стьюдента значений функции [1].

Стандартными методами в теории вероятностей устанавливается, что искомая точность оценивания вычисляется по формуле ,

где величина определяется по специальной таблице значений функции [2].

Оценки параметров распределения случайных величин в виде среднего арифметического для оценки математического ожидания и СКО для оценки дисперсии называются точечными оценками, так как они выражаются одним числом. Однако в некоторых случаях знание точечной оценки является недостаточным. Наиболее корректной и наглядной оценкой случайной погрешности измерений является оценка с помощью доверительных интервалов.

Симметричный интервал в границами ± Δх(Р) называется доверительным интервалом случайной погрешности с довери-тельной вероятностью Р, если площадь кривой распределения между абсциссами – Δх и + Δх составляет Р -ю часть всей площади под кривой плотности распределения вероятностей. При нормировке всей площади на единицу Р представляет часть этой площади в долях единицы (или в процентах). Другими словами, в интервале от -Dх(Р) до +Dх(Р) с заданной вероятностью Р встречаются Р ×100% всех возможных значений случайной погрешности.

Доверительный интервал для нормального распределения находится по формуле:

где коэффициент t зависит от доверительной вероятности Р.

Для нормального распределения существуют следующие соотношения между доверительными интервалами и доверительной вероятностью: 1s (Р=0,68), 2s (Р= 0,95), 3s (Р= 0,997), 4s (Р=0,999).

Доверительные вероятности для выражения результатов измерений и погрешностей в различных областях науки и техники принимаются равными. Так, в технических измерениях принята доверительная вероятность 0,95. Лишь для особо точных и ответственных измерений принимают более высокие доверительные вероятности. В метрологии используют, как правило, доверитель-ные вероятности 0,97, в исключительных случаях 0,99. Необходимо отметить, что точность измерений должна соответствовать поставленной измерительной задаче. Излишняя точность ведет к неоправданному расходу средств. Недостаточная точность измерений может привести к принятию по его результатам ошибочных решений с самыми непредсказуемыми последствиями, вплоть до серьезных материальных потерь или катастроф.

При проведении многократных измерений величины х, подчиняющейся нормальному распределению, доверительный интервал может быть построен для любой доверительной вероятности по формуле:

где t_q – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа наблюдений n и выбранной доверительной вероятности Р. Он определяется с помощью таблицы q -процентных точек распределения Стьюдента, которая имеет два параметра: k = n – 1 и q = 1 – P; – оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического.

Доверительный интервал для погрешности Dх(Р) позволяет построить доверительный интервал для истинного (действи-тельного) значения измеряемой величины, оценкой которой является среднее арифметическое . Истинное значение измеряе-мой величины находится с доверительной вероятностью Р внутри интервала: . Доверительный интервал позволяет выяснить, насколько может измениться полученная в результате данной серии измерений оценка измеряемой величины при проведении повторной серии измерений в тех же условиях. Необходимо отметить, что доверительные интервалы строят для неслучайных величин, значения которых неизвестны. Такими являются истинное значение измеряемой величины и средние квадратические отклонения. В то же время оценки этих величин, получаемые в результате обработки данных наблюдений, являются случайными величинами.

Недостатком доверительных интервалов при оценке случай-ных погрешностей является то, что при произвольно выбираемых доверительных вероятностях нельзя суммировать несколько погреш-ностей, т.к. доверительный интервал суммы не равен сумме довери-тельных интервалов. Суммируются дисперсии независимых случай-ных величин: D_å = åD_i. То есть, для возможности суммирования составляющие случайной погрешности должны быть представлены своими СКО, а не предельными или доверительными погрешностя-ми.