Дискретная случайная величина. Типичные законы распределения дискретной величины.

Случайная величина- величина в результате опытов принимает то или иное значение, причем заранее не известно какое именно.

Дискретная- случайная величина, принимающие конечное или счетное множество значений.

Непрерывная - случайная величина, принимающие несчетные множество значений.

Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения, нужно указать еще и их вероятность.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) или графически (в виде многоугольника распределения).

Рассмотрим случайную величину X, которая принимает значения x₁, x₂, x₃... x_n с некоторой вероятностью p_i, где i = 1.. n. Сумма вероятностей p_i равна 1.

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей вида

 

 

называется рядом распределения дискретной случайной величины или просто рядом распределения. Эта таблица является наиболее удобной формой задания дискретной случайной величины.

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. По оси абсцисс откладываются возможные значения дискретной случайной величины, а по оси ординат соответствующие вероятности.

Пуассоновский поток событий.

Пуассоновский поток – это поток обладающий двумя свойствами – ординарностью и отсутствием последействия.

Для двух неперекрывающихся интервалов времени число событий, попадающих в один интервал, не зависит от того, сколько событий попало в другой.

Пусть дан стационарный поток с интенсивностью . Из ординарности потока следует:

- вероятность наступления одного события за время :

- вероятность ненаступления события

Функции распределения случайной величины и ее свойства

Фун-ия распред. случ. величины Х- называется функ-ей F(x), кот. для любого числа Х из множества R равна вероятности событий

Св-ва:

1) F(x)- неубывающая фун-ия, т.е. x₂>x₁; F(x₁)≥F(x₂)

2) F(x)- ограниченная 0≤F(x)≤1

3)

4)

5) F(x;y) непрерывная слева фун-ия

Вероятность попадания случ. величины Х в промежуток от А до В принимающие ее фун-ии распределения на промежуток [a;b] P{a≤x≤b}=F(b)-F(a)

дискретная случайная величина, принимающая значения xесли x ₁ < x ₂ < … < x_i < … с вероятностями p ₁ < p ₂ < … < p_i < …, то таблица вида

x 1	x 2	…	xi	…
p 1	p 2	…	pi	…

называется распределением дискретной случайной величины.Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения f(x)=F’(x)

Св-ва

1) f(x) неотрицательная, т.е. f(x)≥0

2) Вероятность попадания н.с.в. в промежуток [a;b) равна определенному интегралу от ее плотности в пределах от a до b, т.е.

3) Функция распределения н.с.в. может быть выражена через ее плотность вероятности по формуле .

4) Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности вероятности н.с.в в бесконечных пределах равен единице, т.е. Закон распределения случайной величины дает исчерпывающую информацию о случайной величине. Однако, иногда можно охарактеризо­вать достаточно ярко случайную величину с помощью всего одного или нескольких чисел. Например, можно указать закон распределения количества осадков выпадающих в данной местности за определенный месяц, но проще инагляднее указать среднее количество осадков в данном месяце.

Числа, назначение которых в сжатом виде характеризовать основные особенности распределений случайных величин, называются числовыми характеристиками. Рассмотрим некоторые из числовых характеристик и их основные свойства.