Следствие. Пусть X1, . . .Xn; Y1, . . . ,Yn – значения признаков X и Y в выборочной совокупности объема n, Cov(X ,Y )– ковариация признаков X и Y в генеральной совокупности

объема N. Тогда для ковариации выборочных средних справедливы соотношения:

• в случае повторной выборки Cov(X¯,Y¯) =Cov(X,Y)/n

• в случае бесповторной выборки Cov(¯X, ¯Y) =Cov(X,Y)/n ·N –n/N −1

Выборочная доля (w), или частость, определяется отношением числа единиц, обладающих изучаемым признаком т, к общему числу единиц выборочной совокупности п: w= т/п.

Например, если из 100 деталей выборки (и = 100), 95 деталей оказались стандартными (т =95), то выборочная доля w = 95 / 100 = 0,95.

Пропорциональная (Типическая, районированная, стратифицированная) выборка преследует две цели:

• обеспечить представительство в выборке соответствующих типических групп генеральной совокупности по интересующим исследователя признакам;

• увеличить точность результатов выборочного обследования.

При типической выборке до начала ее формирования генеральная совокупность единиц разбивается на типические группы. При этом очень важным моментом является правильный выбор группировочного признака. Выделенные типические группы могут содержать одинаковое или различное число единиц отбора. В первом случае выборочная совокупность формируется с одинаковой долей отбора из каждой группы, во втором – с долей, пропорциональной ее доле в генеральной совокупности. Если выборка формируется с равной долей отбора, по существу она равносильна ряду собственно случайных выборок из меньших генеральных совокупностей, каждая из которых и есть типическая группа. Отбор из каждой группы осуществляется в случайном (повторном или бесповторном) либо механическом порядке. При типической выборке, как с равной, так и неравной долей отбора, удается устранить влияние межгрупповой вариации изучаемого признака на точность ее результатов, так как обеспечивается обязательное представительство в выборочной совокупности каждой из типических групп. Стандартная ошибка выборки будет зависеть не от величины общей дисперсии,а от величины средней из групповых дисперсий. Поскольку средняя из групповых дисперсий всегда меньше общей дисперсии, постольку при прочих равных условиях стандартная ошибка типической выборки будет меньше стандартной ошибки собственно случайной выборки.

При определении стандартных ошибок типической выборки применяются следующие формулы:

• при повторном способе отбора

• при бесповторном способе отбора: средняя из групповых дисперсий в выборочной совокупности.

8.Пределные теоремы в схеме Бернулли. Приближенные формулы Лапласа. Теорема Пуассона.

К настоящему моменту мы накопили значительное число точных результатов, относящихся к последовательности независимых испытаний Бернулли и связанному с ней биномиальному распределению. Мы знаем, что V_n, число успехов в последовательности из независимых испытаний Бернулли, можно представить в виде

V_n=ɛ₁+...+ɛ_n

где ɛ₁+...+ɛ_n - независимые одинаково распределенные бернуллиевские случайные величины. Мы знаем в явном виде распределение, V_n,а именно,

где p - вероятность успеха в единичном испытании.

Вместе с тем, во многих задачах приходится находить вероятности при больших значениях n. Это может вызвать значительные вычислительные трудности ввиду громоздкости биномиальных коэффициентов и необходимости возводить числа и в высокие степени. Ниже мы рассмотрим две важные предельные ситуации, когда биномиальное распределение может быть приближено другими распределениями.

Локальная приближенная формула Лапласа. При больших n имеет место приближенное равенство

, (1)

где , .

(Таблицу значений функции j(х) см. в приложении 1).

Локальная теорема Лапласа

Если вероятность р наступления события А постоянно отлично от 0 и 1, а число испытаний достаточно велико, то вероятность может быть вычисленно по следующей формуле

Замечание1: равенство тем точнее, чем >n

Определение:

Замечание2:

Интегральная приближенная формула Лапласа. При больших n имеет место приближенное равенство

, (2)

где

, , .

Функция Ф (х) называется функцией Лапласа (таблицу ее значений см. в приложении). При нахождении значений функции j(х) и Ф (х) для отрицательных значений аргументов следует иметь в виду, что j(х) четная, а Ф (х) – нечетная.

Отметим еще, что приближенными формулами Лапласа (1) и (2) на практике пользуются в случае, если npq ³ 10. Если же npq < 10, то эти формулы приводят к довольно большим погрешностям.

Интегральная теорема Лапласа.

Если вероятность наступления р события А постоянно отлично от 0 и 1, то тгда вероятность того, что событие А состоится m-раз в промежутке от k₁ до k₂ равна Р(А)=р, р 0 и р 1.

Теорема Пуассона.

Если число испытаний неограниченно увеличивается (n→∞) и вероятность наступления события А неограниченно уменьшается, но так что произведение числа испытаний (np=λ=const) на вероятность события является постоянной, тогда вероятность удовлетворить предельному равенству