Графическое изображение рядов распределения. Наглядно ряды распределения представляются при помощи графических изображений.

Ряды распределения изображаются в виде:- Полигона (При построении полигона на горизонтальной оси (ось абсцисс) откладывают значения варьирующего признака, а на вертикальной оси (ось ординат) — частоты или частости.)-Гистограммы(Для построения гистограммы по оси абсцисс указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (или частостям).)

-Кумуляты(Распределение признака в вариационном ряду по накопленным частотам (частостям) изображается с помощью кумуляты. Кумулята или кумулятивная кривая в отличие от полигона строится по накопленным частотам или частостям. При этом на оси абсцисс помещают значения признака, а на оси ординат — накопленные частоты или частости)-Огивы(Огива строится аналогично кумуляте с той лишь разницей, что накопленные частоты помещают на оси абсцисс, а значения признака — на оси ординат.) Квантили (процентили) распределения Стьюдента (коэффициенты Стьюдента) — числовые характеристики, широко используемые в задачах математической статистики, таких как построение доверительных интервалов и проверка статистических гипотез. - кванти́ль случайной величины с функцией распределения — это любое число удовлетворяющее двум условиям:1) 2) Заметим, что данные условия эквивалентны следующим:

и Если —непрерывная строго монотонная функция, то существует единственный квантиль любого порядка который однозначно определяется из уравнения и, следовательно, выражается через функцию, обратную к функции распределения: Кроме указанной ситуации, когда уравнение имеет единственное решение (которое и дает соответствующий квантиль), возможны также две других:если указанное уравнение не имеет решений, то это означает, что существует единственная точка в которой функция распределения имеет разрыв, которая удовлетворяет данному определению и является квантилем порядка . Для этой точки выполненысоотношения: и (первое неравенство строгое, а второе может быть как строгим, так и обращаться в равенство). если уравнение имеет более одного решения, то все его решения образуют интервал, на котором функция распределения постоянна. В качестве квантиля порядка может быть взята любая точка этого интервала. Содержательные выводы, в которых участвует квантиль, от этого существенно не изменятся, поскольку вероятность попадания случайной величины в данный интервал равна нулю.

Часто используемые квантили специальных видов: Проценти́ль Дециль Квинтиль Квартиль Медиана

Распределение (хи-квадрат) с n степенями свободы — это распределение суммы квадратов n независимыхстандартных нормальныхслучайных величин. Определение Пусть — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: . Тогда случайная величина имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы, обозначаемое .Замечание. Распределение хи-квадрат является частным случаем Гамма распределения: .Следовательно, плотностьраспределения хи-квадрат имеет вид

,а его функция распределения ,где и обозначаютсоответственно полную и неполную гамма-функции. Свойства распределения хи-квадрат

Распределение хи-квадрат устойчиво относительно суммирования. Если независимы, и , а , то ; Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если , то , ; В силу центральной предельной теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины может быть приближено нормальным . Более точно по распределению при .

Распределение Стьюдента: Определение. Пусть - случайная величина распределенная по закону , а - независимая от нее случайная величина распределенная по закону хи-квадрат с степенями свободы. Тогда распределение величины (3.7) называется распределением Стьюдента с степенями свободы и обозначают .

Плотность распределения Стьюдента: , (3.8) Числовые характеристики: , . Распределение Стьюдента симметрично относительно .Так как при , согласно закону больших чисел, , то при . Распределе́ние Фи́шера в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Определение: Пусть — две независимыеслучайные величины, имеющие распределение хи-квадрат: , где . Тогда распределение случайной величины ,называется распределением Фишера со степенями свободы и . Пишут . Моменты: Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Фишера, имеют вид:

, если , , если .

Свойства распределения Фишера:Если , то ; Распределение Фишера сходится к единице: если , то по распределению при ,

где — дельта-функция в единице, то есть распределение случайной величины-константы . Связь с другими распределениями:Если , то случайные величины сходятся по распределению к при .

Гамма распределение и его свойства.Определение. Случайная величина имеет гамма распределение , где , , если ее плотность распределения имеет вид:

(3.4) Здесь - гамма функция. , , .Найдем характеристическую функцию случайной величины :

(3.5)Используя, характеристическую функцию легко найти математическое ожидание и дисперсию гамма-распределения: , . Свойство 1. есть показательное распределение с параметром .

Действительно, если , то - есть плотность распределения случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром . Свойство 2. Если , то . Доказательство. Найдем функцию распределения : Свойство 3. Если независимы и , то .