С применением дифференциальных уравнений

 

Составление дифференциальных уравнений является важным и вместе с тем трудным вопросом. Универсального метода, пригодного во всех случаях, указать нельзя. Необходимо приобретение опыта и определенных навыков в решении различных задач, что достигается разбором большого количества задач и самостоятельным решением аналогичных примеров. Необходимо также знание данной прикладной дисциплины.

Составление дифференциального уравнения по условию задачи (механической, физической, химической, технической или любой другой) состоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их приращениями, которые сразу же заменяются соответствующими дифференциалами.

В большинстве случаев модель прикладных задач с применением обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к следующему:

1) подробный разбор условий задачи и составление чертежа, поясняющего его суть;

2) составление дифференциального уравнения рассматриваемого процесса;

3) интегрирование этого уравнения и определение его общего решения;

4) определение частного решения задачи на основании данных начальных условий;

5) определение по мере необходимости вспомогательных параметров (например, коэффициента пропорциональности и т.д.) с использованием для этой цели дополнительных условий задачи;

6) вывод общего закона рассматриваемого процесса и числовое определение искомых величин;

7) анализ ответа и проверка исходного положения задачи.

В качестве примера рассмотрим задачу о радиоактивном распаде.

 

Задача 9.10.1.Скорость распада радия прямо пропорциональна наличной его массе. Определить, какой процент массы m ₀ радия распадется через 200 лет, если известно, что период полураспада радия (период времени, по истечении которого распадается половина наличной массы радия) равен 1590 лет.

Решение. Скорость распада радия измеряется его количеством, распавшимся в единицу времени. За малый промежуток времени , истекший с некоторого момента времени t, количество распавшегося радия равно , где m – количество радия в данный момент времени, k – коэффициент пропорциональности. Это же количество, взятое с отрицательным знаком (масса убывает), равно приращению массы за время :

.

Обе части равенства делим на и переходим к пределу при . Тогда .

Разделяем переменные:

.

Интегрируя уравнение, находим или после потенцирования

.

Начальное условие: при t = 0.

.

Таким образом:

.

Коэффициент k определяем из дополнительного условия:

при t = 1590 .

,

.

Искомая функция .

Количество радия, не распавшегося через 200 лет, (что составляет 91,5%).

Следовательно, через 200 лет распадется лишь 8,5% радия.

Интересующихся моделями прикладных задач с помощью дифференциальных уравнений отправляем к учебному пособию [14].