Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Напомним, что полным дифференциалом функции двух переменных называется выражение

.

Уравнение

называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции , т.е. . В этом случае уравнение можно записать в виде , откуда следует, что соотношение

является его общим интегралом.

 

Теорема 9.8.1.Пусть и – функции, непрерывные в некоторой односвязной (не имеющей «дырок» внутри себя) области D плоскости XOY и имеющие в ней непрерывные частные производные и . Тогда, для того, чтобы выражение

было полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D было выполнено условие:

.

Доказательство.

Необходимость. Пусть выражение является полным дифференциалом некоторой функции , т.е.

. Отсюда

.

Дифференцируя первое из этих равенств по y, а второе – по x, получим , , откуда по теореме о равенстве смешанных производных получаем .

Достаточность. Покажем, что при выполнении условия выражение есть полный дифференциал некоторой функции .

Из соотношения находим

,

где x ₀ – абсцисса любой точки из области существования решения.

При интегрировании по x мы считаем y постоянным и поэтому произвольная постоянная интегрирования может зависеть от y. Подберем так, чтобы выполнялось второе из соотношений. Для этого продифференцируем обе части последнего равенства по y и результат приравняем :

.

Но, так как , то , т.е.

, или .

Следовательно, , или .

Таким образом, функция будет иметь вид

,

где точка – точка, в окрестности которой существует решение уравнения.

Если при построении функции брать за исходное второе из равенств, то получим, что

.

В формулах и нижние пределы интегрирования нужно выбирать так, чтобы получающиеся интегралы имели смысл. Удачный выбор и во многих случаях облегчает задачу интегрирования уравнения.

Напомним, что общим интегралом уравнения будет (произвольные постоянные С ₁ или С ₂ можно включить в постоянную С).

 

Пример 9.8.1.Решить уравнение .

Решение. Проверяем, не есть ли это уравнение в полных дифференциалах. Пусть , , тогда ; . Условие при y ¹ 0 выполняется. Значит, левая часть данного уравнения есть полный дифференциал некоторой неизвестной функции . Найдем эту функцию.

Так как , то , где – не определенная пока функция от y.

Дифференцируя это соотношение по y и учитывая, что , получаем Þ Þ . Следовательно .

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения

.

Замечание.Неизвестную функцию можно сразу находить по одной из формул или.

 

Пример 9.8.2.Дано уравнение .

Решение. Условие выполнено. Применим формулу, положив , . Получим Þ Þ – общий интеграл. Нельзя полагать , так как y = 0 не принадлежит области определения коэффициентов.

Если , то уравнение уже не является уравнением в полных дифференциалах. Его можно превратить в уравнение в полных дифференциалах умножением обеих частей на подходящим образом подобранную функцию , которая называется интегрирующим множителем. В некоторых частных случаях интегрирующий множитель можно найти. Более подробно этот вопрос можно найти в любом учебнике, содержащем дифференциальные уравнения.