Системы дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 

При решении многих задач требуется найти функции , , …, , которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих аргумент х, искомые функции у ₁, у ₂, …, y_n и их производные.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка.

где у ₁, у ₂, …, y_n – искомые функции, х – аргумент.

Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.

Проинтегрировать систему – значит определить функции у ₁, у ₂, …, y_n, удовлетворяющие системе уравнений и данным начальным условиям

, , …, .

В дифференциальные уравнения системы могут входить производные высших порядков. В этом случае получается система дифференциальных уравнений высших порядков.

Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

где коэффициенты – постоянные числа.

Будем искать частные решения системы в следующем виде:

, , …, .

Требуется определить постоянные a₁, a₂, …, a _n и k так, чтобы функции , ,…, удовлетворяли системе. Подставляя их в систему, получим,

Сократим на обе части уравнений. Перенося все члены в одну сторону и собирая коэффициенты при a₁, a₂, …, a _n, получим систему:

Система - это система линейных однородных алгебраических уравнений относительно a₁, a₂, …, a _n. Выпишем определитель этой системы

.

Если k таково, что , то система имеет только нулевые решения a₁ = 0, a₂ = 0, …, a _n = 0, а формулы дают только тривиальные решения

.

Таким образом, нетривиальные решения мы получим только при таких k, при которых определитель , т.е.

.

Это уравнение называется характеристическим уравнением системы, оно является алгебраическим уравнением n -го порядка для определения k.

Рассмотрим только случай, когда корни характеристического уравнения действительные и различные: k ₁ ¹ k ₂ ¹ … ¹ k_n. Для каждого корня напишем систему и определим числа , , …, .

Таким образом, получаем:

для корня k ₁: , , …, ;

для корня k ₂: , , …, ;

………………………………………………………………………………….

для корня k_n: , , …, .

Путем непосредственной подстановки в уравнения системы можно убедиться, что система функций

где С ₁, С ₂, …, С_n – произвольные постоянные, тоже является решением этой системы.

В случае комплексных корней применяются формулы Эйлера , тогда частными решениями будут и . Соответствующий пример рассматривается в практической части модуля.

 

Пример 9.19.1.Решить систему

Решение. Характеристическое уравнение Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

. Легко угадать один корень . Разделив по правилу деления многочленов на , получим Þ Þ , .

Для система имеет вид

Решим эту систему методом Гаусса. Имеем (третье уравнение совпадает с первым и мы его отбрасываем): Положим , тогда , т.е. , , .

Точно так же для получим , , , а для : , , . Таким образом,

для : , , ;

для : , , ;

для : ; ; .

Тогда – общее решение исходной системы.

Системы дифференциальных уравнений можно решать сведением к одному дифференциальному уравнению высшего порядка. Покажем, как это делается на примере.

 

Пример 9.19.2.Решить задачу Коши для системы

.

Решение. Из второго уравнения Þ . у и подставляем в первое уравнение, тогда

Þ

Þ , т.е. получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Его общее решение .

Составляем и решаем характеристическое уравнение Þ , Þ .

, т.е. , где a = 0 не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде , т.е. Þ и Þ , а . Þ и

Таким образом,

– общее решение данной системы.

Используя начальные условия , получаем

Þ Þ Þ , .

Искомое решение задачи Коши имеет вид:

 

 

Вопросы к экзамену по модулю №9

1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши.

3. Дифференциальные уравнения I порядка. Теорема Коши.

4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.

5. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним.

6. Линейные дифференциальные уравнения I порядка и уравнения Бернулли.

7. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

8. Модели решения прикладных задач с применением дифференциальных уравнений.

9. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие общего и частного решений.

10. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

11. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков (общая теория, понятие линейной зависимости и независимости решений, вронскиана).

12. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

13. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков (структура общего решения, теорема о «накладке» решений).

14. Метод вариации произвольных постоянных нахождения частного решения.

15. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и со «специальной» правой частью.

16. Системы дифференциальных уравнений. Нормальная система дифференциальных уравнений. Метод исключения неизвестных при решении систем дифференциальных уравнений.

17. Решение систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью характеристического уравнения.