Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x,y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

 

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т.к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).

 

Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке.

Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.

 

Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП,

Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.

 

Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой.

Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.

 

Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле.

I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная -sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится.При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = -arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = -п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, -inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).

 

Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

 

F-T

F-T|1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = -e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b].

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x,y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.