Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.
Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x,y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.
Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных ИЗП (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини). I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y ó для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно à для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2 è расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится è (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<nàinf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт è выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y) è In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т.к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при xà inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps è (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).
Билет 3. Непрерывность и интегрируемость несобственных ИЗП на отрезке. Т4 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C[a, inf) x [c, d] (*) сходится равномерно на [c, d]. Тогда I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx непрерывна на [c, d]. Док-во: пусть In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx. По Т1 непрерывны. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует A(eps): для любого n Є N: a + n > A(eps) |I(y) – In(y)| = |$<a+n, inf>f(x, y)dx| < eps. Тк In(y) Є C[c, d] и есть равномерная сходимость. то предел тоже непрерывен. ЧТД. Т6 собственное интегрирование. Пусть $<a, inf>f(x)dx сходится равномерно на [c, d] к I(y). Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy (при этом утверждается, что интеграл справа существует). Док-во: достаточно показать, что lim<pàinf>$<a, p>dx$<c, d>f(x, y)dy = $<c, d>I(y)dy. $<c, d>I(y)dy - $<c, d>dy$<a, p>f(x, y)dx = $<c, d>dy$<p, inf>f(x, y)dx. Из равномерной сходимости для любого eps > 0 существует… |$<p, inf>f(x, y)dx| < eps/(d – c). Те ЧТД. Следствие: можно изменить условия так, чтобы сходимость следовала из признака Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf) x [c, d], для любого y Є [c, d] существует I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx, причем I(y) Є C[c, d]. Тогда $<c, d>I(y)dy = $<a, inf>dx$<c, d>f(x, y)dy.
Билет 4. Дифференцируемость несобственных ИЗП, Т5 дифференцируемость. Пусть f(x, y), df/dy(x, y) Є C[a, inf)x[c, d], $<a, inf>f(x, y)dx = I(y) сходится для любого y Є [c, d]. $<a, inf>df/dy(x, y)dx сх-ся равномерно на [c, d]. Тогда I’(y) = $<a, inf>df/dy(x, y)dx, для любого y Є [c, d]. Док-во: рассмотрим In(y) = $<a, a+n>f(x, y)dx. По Т3 In’(y) = … По т 4 In’(y) равномерно сх-ся на [c, d]. In(y) сходится равномерно к I(y), In’(y) à равномерно, пользуемся т о почленном диф-рии.
Билет 5. Интегрируемость несобственных ИЗП на прямой. Т7 несобственное интегрирование. Пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, inf)x[c, inf), для любых x >= a существует $<c, inf>f(x, y)dy = K(x), для любых y >= c существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем K Є C[a, inf), I Є C[c, inf). Тогда если сходится один из интегралов $<a, inf>K(x)dx, $<c, inf>I(y)dy то сходится и другой и они равны $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy = $<c, inf>dy$<a, inf>f(x, y)dx. Док-во Пусть $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy сходится. Покажем, что lim<pàinf>$<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy (определен для любого p > с как интеграл от непрерывной функции). Тогда по следствию Т6 $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx = $<a, inf>dx$<c, p>f(x, y)dy. Те |$<a, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy - $<c, p>dy$<a, inf>f(x, y)dx| = $<a, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy. В силу сходимости $<a, inf>dx($<c, d>f(x, y)dy) для любого eps > 0 существует R1(eps) >= a: $<R1, inf>dx$<c, inf>f(x, y)dy < eps/2 è $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < eps/2. Те разность преобразовалась в $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + $<R1, inf>dx$<p, inf>f(x, y)dy < $<a, R1>dx$<p, inf>f(x, y)dy + eps/2. Тк f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, R1]x[c, inf) K(x) непрерывна на [a, R1] è по признаку Дини $<c, inf>f(x, y)dy сходится равномерно на [a, R1] è для любого eps > 0 существует p1: для любого p > p1 $<p, inf>f(x, y)dy < eps/(2(R1 – a)) è получили ЧТД.
Билет 6. Вычисление интеграла Дирихле. I = $<0, inf>sinxdx/x. Введем интеграл I(y) = $<0, inf> [sin/x]e^(-xy)dx (*), y >= 0. Доопределим при x = 0 подынтегральную функцию 0б тогда она непрерывна при x >= 0, y >= 0, а интеграл не поменялся. Пусть f(x, y) = sinx/x, тогда $<0, inf>f(x, y)dx сходится равномерно на y >=0. Пусть g(x, y) = e ^(-xy) монотонна по x, |g(x, y)| <= 1 – равномерно ограничена. Значит (*) сходится равномерно на y >= 0. Подынтегральная функция непрерывна, производная -sinxe^(-xy0 Є C(R^2). Сам интеграл сходится.При y >= y0 > 0 интеграл от производной сходится по Вейерштрассу <= e^(-xy0). Выполнены условия Т5 è I’(y) = -$<0, inf>sinxe^(-xy)dx для любого y Є [y0, y1], 0 < y0 < y1< inf. $<0, inf>sinx e^(-xy)dx = 1- y$<0, inf>e^(-xy)d(sinx) = 1 – (y^2)$<0, inf>sinx(e^(-xy)dx è I’(y) = -1/(1+y^2). Интегрируем è I(y) = -arctgy + c, y > 0. Постоянную найдем посчитав предел lim<yàinf>I(y). |I(y)| <= $<0, inf>e^(-xy)dx = 1/y à 0, при yàinf. 0 = lim<yàinf>I(y) = -п/2 + c è c= п/2. Докажем непрерывность I(y) в 0. I(y) сходится равномерно при y >= 0, подынтегральная непрерывна, те по Т4. Значит I(0) = п/2. $<0, inf>sinaxdx/x = $<0, inf>[sin(ax)/(ax)]d(ax) = {$<0, inf>sinx/dx, a > 0; 0, a = 0; $<0, -inf>sixdx/x, a < 0}. Те $<0, inf>sinaxdx/x = п/2sgn(a).
Билет 12. Теорема Фейера. Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2) è σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) àравномерно на [–п, п]à f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности, того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.
F-T F-T|1|| < e/(3sqrt<2>(2п))sqrt<2>$<-п, п>1^2dt = eps/3. |f(t) – f(t + h)| <= |f(t) – T(t)| + |T(t) – T(t + h)| + |T(t+h) – f(t + h)| è $<-п, п>|f(t) – f(t + h)|dt <= … по лемме об интегрируемости по периоду… Получаем (равномерная непрерывность T), что можем подобрать δ такое, что |T(t + h) – T(t)| < e/(6п). Получаем ЧТД. Т12 Пусть f, g Є L2R[-п, п] и периоды f и g равны 2п. Рассмотрим Fx(t) = f(x+t)g(t), x Є R. Тогда w^(Fx, δ) равномерно по x Є R сходится к 0 при δ à 0 + 0, те для любого eps > 0 существует δ0 > 0: δ Є (0, δ0) для любого x Є R w^(Fx, δ) < eps. Док-во: f, g ограничены на R è существует M >= 0: |f(t)| <= M, |g(t)| <= M t Є R |Fx(t + h) – Fx(t)| = |f(x + t + h)g(t+h) – f(x+t)g(t)|<=|g(t + h)[f(x + t + h) – f(x+t)]| + |f(x+t)[g(t+h) – g(t)]| <= M|f(x + t + h) – f(x+t)| + M|g(t+h) – g(t)| (**), $<-п, п>|f(x+t+h) – f(x+t)|dt = {u = x + t} = $<-п, п>|f(u+h) –f(u)|du Интегрируем (**) на [-п, п], взяв |h| <= δ: $<-п, п>|Fx(t+h) – Fx(t)|dt <= M$<-п, п>|f(u+h) – f(u)|du + M$<-п, п>|g(u+h) – g(u)|du, |w^(Fx, δ)| <= M(w^(f, δ) + w^(g, δ)) à 0 (по предыдущей теореме) (выражение не зависит от x значит не зависит от x). Т13 Пусть f Є L2R[-п, п], an, bn – коэффициенты Фурье функции f тогда sqrt<2>(an^2 + bn^2) <= 1/(2п)w^(f, п/n). Док-во: an = 1/п$<-п, п>f(x)cosnxdx, bn = 1/п$<-п, п>f(x)sinnxdx. an + ibn = 1/п$<-п, п>f(x)e^(inx)dx = {y = x – п/n} = 1/п$<-п – п/n, п – п/n>f(y + п/n)e^(iny + iп)dy = {e^(iny + iп) = -e^(iny)} = -1/п$<-п, п>f(y + п/n)e^(iny)dt. 2(an + ibn) = 1/п|$<-п, п>(f(t) – f(t + п/n))e^(int)dt| è sqrt<2>(an^2 + bn^2) = |an + ibn| <= 1/2п$<-п, п>[|f(t) – f(t + п/n)|*1]dt < w^(f, п/n)/2п. Следствие: пусть f, g, Fx удовлетворяют условиям Т12, тогда an(x) = 1/п$<-п, п>Fx(t)cosntdt, bn(x)=… - коэффициенты Фурье Fx. Тогда an(x)à(равномерно)à0, bn… при nàinf. Док-во: sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2) <= 1/(2п)w^(Fx, п/n) àà0, an(x), bn(x) <= sqrt<2>(an(x)^2 + bn(x)^2). Следствие: Пусть f – 2п периодична, f, g Є L2R[-п, п]. Тогда 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)cosntdt, 1/п$<-п, п>f(x+t)g(t)sin ntdt àà<xЄ R> 0. Док-во: меняем g(x) в –п на g(п), если нужно и периодически продолжаем. На значение интегралов это не повлияет. Применяем предыдущее средство. w[a, b](f, δ) = sup<x1, x2Є[a, b], |x1 - x2| < δ> |f(x1) – f(x2)| - модуль непрерывности f(x) на [a, b]. Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d] è для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a) è |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x,y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yày0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при yà0 f(ξy, y) à f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)à0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-12; просмотров: 231; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.220.200.197 (0.011 с.) |