Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернули.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернули.



Ур-е вида(1) y/+p(x)=f(x) –линейное ур-е 1ого порядка.

Теор. Пусть функция р(х) и f(x) непрерывны на интервале α<x<β. Тогда через любую точку(х00) полосы D={(х;у); α<x<β, -∞<y<+∞}проходит единственное решение ур-я (1) причем оно определено на (α;β). Уравнение(1) однородное, если f(x)≡0 и неоднородно в противном случае.

Док-во(Метод решения):

1)Пусть ур-е однородное, т.е y/+p(x)=0 –это ур-е с разделяющимеся переменными.

у≡0 – решение;

у≠0, dy/y=-p(x)dx, ∫dy/y=-∫p(x)dx,ln|y|=-∫x0X p(t)dt + lnC1, C1>0, lnC1 ϵ |R

Потенциируем выражение |y|=C1exp(-∫x0X p(t)dt), y=± C1exp(-∫x0X p(t)dt), C1>0

{C1,y>0 =>

Введем новую С={-C1,y<0 => y=Cexp(-∫x0X p(t)dt), разрешим С=0,С ϵ |R

Решение проходит через(х00) имеет вид y = y0exp(-∫x0X p(t)dt)

2) Пусть f(x)≠0/ Решаем ур-е (1)

Выпишем все решение ур-я y/+p(x)=0,y=Cexp(-∫x0X p(t)dt), оно представляется в виде у= φ(x).

Св-ва φ(x):1) φ(x) ϵ С1(α;β) (α;β): φ(x)>0. 2) φ(x0)≡ exp(-∫x0X0 p(t)dt)=1

3) φ(x) – решение уравненияy/+p(x)=0на (α;β), т.е φ (1)(x)+p(x) φ(x)≡0. Решение уравнения (1) ищем в виде y=C(x) φ(x),где С(x)непрерывно дифференцируема на (α;β),подлежит определению.

Подставим у=φ(x)С(х) в (1) y(1)=C(1)(x)φ(x)+C(x) φ (1)(x), [C(1)(x)φ(x)+C(x) φ (1)(x)]+p(x)C(x) φ(x)=f(x), т.к C(1)(x)φ(x)+ p(x)C(x) φ(x) ≡0, то C(1)(x)φ(x)=f(x), т.к φ(x)>0 на(α;β)

C(1)=f(x)/ φ(x) – непрерывно на (α;β)

С(x)= ∫x0Xf(s)/ φ(s)dS + K,K ϵ|R

Подставим С(x) в y(x): y(x)= φ(x) ∫x0Xf(s)/ φ(s)dS + K φ(x)

Замечание| yо.но.оч.н

Решение проходит через(х00), y(x)= φ(x) ∫x0Xf(s)/ φ(s)dS + у0 φ(x)=>y(x0)= φ(x0) ∫x0X0f(s)/ φ(s)dS + у0 φ(x0)=0+y0*1=y0

Ур-е вида(2) y/+p(x)=y(n)f(x)- ур-е Бернули.

n≠0,n≠1.Если n>0,то y≡0 – решение, =>y≠0 то делим обе части ур-я на y(n),Вводим новую переменную z(x)=y(1-n), z(1)(x)= (y(1-n))(1)=(1-n)y(-n)y(1), z(1)+(1-n)p(x)z=(1-n)f(x) – линейное относ. z

 

4. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

Уравнения с разделяющимися переменными:y’=f(x)*g(y) (3)

Теорема 1.Пусть функция f(x)-непрерывна на интервале (a,b), а функция g(y)-непрерывна на (c,d) причем для "yÎ(c,d): g(y)¹0. Тогда через любую точку прямоугольника D={(x,y),a<x<b,c<y<d} проходит единственное решение уравнения (3).

Док-во.y’=f(x)*g(y) (3); g(y) ≠0; (3’): y’/g(y)=f(x). Проинтегрируем (3’) по х òy’dx/g(y)=òf(x)dx ó òdy/g(y)= òf(x)dx (3*)

Это равенство множества первообразных. Обозначим F(x)= x0òxf(t)dt, G(y)= y0òyds/g(s). Из (3*) G(y)=F(x)+C. Т.к. G’(y)=1/g(y)≠0, то у G(y) существует обратная G-1. y= G-1(F(x)+C)-решение урав(3). Найдем реш., прох. (x0,y0). G(y0)=F(x0)+C -> 0=0+C=0. y=G-1(F(x)) проходит через (x0,y0).

Теор1| Пусть D-односвязная область в |R2x,y функции P(x,y),Q(x,y) непрер. И диффер. на D. Тогда ур-е P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0 явл. ур-ем в полных диффер., если D: = .

Док-во:1) Необходимость. Пусть ур-е явл. ур-ем в полных диффер.,т.е U(x,y) C1(D)

dU= P(x,y)dx+ Q(x,y)dy. Известно что dU=U(1)x dx+ U(1)y dy значит =P(x,y); =Q(x,y). P,Q C1(D) след-но сущ. непрер. = , = , т.к

и - непр. То . = .

Нахождение первообразной: dU(x,y)= P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0- ур-е в полных диффер.; dU=U(1)xdx+ U(1)ydy,т.е U(1)x=Р(х,у), U(1)y=Q(x,y), U(x,y)=∫P(x,y)dx+ g(y), g(y)-непр.диффер.подлежит определению. = (∫P(x,y)dx+ g(1)(y))= Q(x,y). Сначала находим g(1)(y) и g(y) и подставляем g(y) в U(x,y).

 

7.Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.

Пусть в обл. в G |R3х,у,р опред. непр. Функция F(x,y,p) и ур-е F(x,y,p)=0 имеет хотя бы 1 решение в обл. G. Говорят,что урав. F(x,y,p)=0 задает в обл. D |R2x,y функцию p=f(x,y),если:1) (x,y)ϵD: ((x,y),f(x,y))ϵG. 2) (x,y)ϵD: F(x,y,f(x,y))≡G. В этом случае p=f(x,y) неявно задается ур-ем F(x,y,p)=0.

Рассмотрим функцию F(x,y,U1) опред. на G |R3. (1) F(x,y,у(1))=0 ур-е 1ого порядка неразреш. отн. производной.

Постановка задачи Коши: Пусть F(x,y,p) опред.в обл. в G |R3х,у,р , точка(х000)ϵ G и F(x,y,p)=0. Найти φ(x)решение ур-я F(x,y,p)=0 оперд. на некотор. окрестности (х-h,x+h)точки х0 и уд. усл. φ(x0)=у0, φ(1)0) =р(х0). Запись задачи Коши: F(x,y,у(1))=0, у(х0) =у0 у(1)0) =у(1)0, где F(x0,y0(1)0)=0

Опред| Решение ур-я F(x,y,у(1))=0, через каждую точку которого, проходит ещё одно решение, касаясь того же направления, называется особым решением этого ур-я.

Общий метод введения параметра.

F(x,y,у(1))=0 ур-е 1ого порядка неразреш. отн. производной. Будем искать решение (интегральную кривую) в параметрическом виде(2) γ {х=х(р), у=у(р), рϵ < α, β>. Вводим параметр у(1)=р. Сводим уравнение к разрешенному отн. производной у=f(x, у(1)) или x=g(y, у(1)). Решение ищем в виде γ {х=х(р), у=у(р),

γ {х=х(р), у=f(x(р),p), p=p(x), p(1)(x)≠0. Рассм. равенство: у=f(x,p) и продиффер. его по х,считая р=р(х); = + т.к = у(1)=р. (1)р=f(1)x+f(1)pp(1)x ур-е (1) разреш. отн. произв р(1)х. Т.к р(1)х≠0 и х(1)р=1/р(1)х;

(1*) рх(1)р= х(1)р+ . Решаем (1*), находим х(р), подставляем в (2).

 

Уравнения Лагранжа и Клеро.

Ур-ие Лагранжа: y=f(y’)*x+g(y’) (1); f(y’) ≠y’; y’=p; {x=x(p),y=y(p); {x=x(p),y=f(p)*x+g(p); yx’=f(p)+x*df/dp* px’+dg/dp* px’; p-f(p)=x*df/dp* px’+dg/dp* px’; Если p-f(p) ≠0 и т.к. px’≠0; (p-f(p))* xp’=x*df/dp+dg/dp лин. ур-ие относит. x(p). Если сущ-ет p0 такое, что f(p0)= p0=0, т.е. f(p0)= p0

то ур-ие (1) имеет реш-ие вида; y=f(p0)+g(p0) или y= p0*x+g(p0));

Ур-ие Клеро: y=x*y’+g(y’)(2); вводим параметр p=y’; {x=x(p), y=x*p+g(p); yx’=p+x* px’+ gp’*px’; p = p + x*px’ + gp’*px’; [x + gp’(p)]*px’ = 0; a) px’=0 óp=c; y=c*x+g(c) семейство прямых( реш ур-ия (2)); б) x+g’(p)=0óx=-g’(p); Уравнение интегральной кривой γ : {x = - g’(p); y = - p*g’(p) + g(p); Пусть g(p) ЄC1(I), g’’≠0; в этом случае γ-особая интег-ая кривая(2), пусть p0Є I : (x0;y0) Є γ; { x0 =-g’(p0), y0=- p0g’(p0)+g(p0) Для γ в точке (x0;y0) yx’ - тангенс угла наклона касательной yx’ (x0;y0)= p0; y=c*x+g(c); {x0=-g’(p0), y0=- p0*g’(p0)+g(p0)=c* x0+g(c); yx’(x0)= p0=c; c= p0; реш-ие y= p0*x+g(p0) проходит через точку (x0;y0) касаясь интегр-ой кривой особая инт-ая кривая γ ó γ-особая интегр-ая кривая.



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-07; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.55.22 (0.01 с.)