ОДУ порядка n: определение решения, постановка задачи Коши, формулировка ТСЕ.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

ОДУ порядка n: определение решения, постановка задачи Коши, формулировка ТСЕ.



Пусть Ω область в пр-ве Rn+1 и в Ω задана непрер. ф-я f(x, y, U1 , …, Un-1) Соотношение y(n) = f( x, y, y’, ... , y(n – 1) )(1) вида называется ОДУ порядка n, разрешенным относительно старшей производной.

Опр.: Ф-я φ(x) определенная на промежутке I=<α;β>, наз-ся реш-ем ур-ия (1), если вып-ся след. условия:1) φ(x) Є Сn(I); 2) "x Є I точка : (x ,φ(x), φ’(x) ,…, φ(n-1)(x)) Є Ω; 3) "x Є I точка : φ(n)(x) ≡ f(x, φ(x), φ’(x), …, φ(n-1)(x)).

Постановка задачи Коши. Пусть Ω обл пр-ва Rn-1 , f(x, y, U1 , …, Un-1) определена и непрер в Ω , числа (x0, y0 , y0’,…, y0 (n-1) ) такие, что (x0, y0 , y0’,…, y0 (n-1) ) Є Ω. Найти ф-ю , опред на интервале (x0-δ; x0+δ) являющ реш-ем ур-ия (1) и удовлет усл y0 = φ(x0), y0’= φ’(x0),…, y0 (n-1) = = φ(n-1)(x0) нач данные: (x0, y0 , y0’,…, y0 (n-1) ). Запись задачи Коши: y(n) = f(x,y,y’,... ,y (n – 1) ) , y(x0) = y0 , y’(x0) = y0’ , … , y(n-1)(x0) = y0 (n-1) .

TCE 2( локаль): Пусть Ω область в Rn+1 , (x0, y0 , y0’,…, y0 (n-1) ) ,численно, такие, что (x0, y0 , y0’,…, y0 (n-1) ) Є Ω. Если ф-я f(x, y, U1 , …, Un-1 )и частн призв ∂f /∂ui (x, y, U1 , …, Un-1 )(i=1,…,n-1) непрер в обл Ω, то в некоторой окрест =(x0-h; x0+h) сущ реш-я ур-ия y(n) = f( x, y, y’, ... , y(n – 1) ), и это реш-ие удовлет усл y(x0) = y0 , y’(x0) = y0’ , … , y(n-1)(x0) = y0 (n-1) и это реш-ие единственно.

Физический смысл: x(t) – координата точки массы m на оси x. x’= dx/dt - это скорость; x’’=d2x/dt2 - это ускорение ; f(t, x, x’) – это сила , действующая на точку. m*x’’ = f(t, x, x’). Начальные условия : {t0 – нач момент времени; x(t0) – нач координата; x0’ – нач скорость {m*x’’ = f(t, x, x’); x(t0) = x0; x’(t0) = x0’.

 

Простейшие методы понижения порядка.

Примеры.

(1) F(x, y, y’, ... , y (n)) = 0 – называется неразрешённым относительно старшей производной.

I.F(x, y’,y’’, ... , y (n) ) = 0 – функция не содержит y.

Осуществим замену переменной: х – независимая переменная;

z(x) = y’(x) , y’’= z’,…,y(n) = z(n-1)

F(x, z, z’, … , z(n-1) ) = 0.

II. Левая часть не содержит (явно) x.

F( y, y’, y’’... , y (n) ) = 0; у – независимая переменная;

t = t(y) = yx’; t – функция от у.

yxx’’ =(ух’)х’ = tx’= ty’*yx’= t*ty

yxxx’’’ = (yxx’’)’ = (t*ty’)x’ = (t*ty’)y’*yx’ = t*(t*ty’)y

F(y, t, ty’... , t (n-1) ) = 0.

III.F(x, y, y’, ... , y (n)) = 0;

Пусть Ф(x, y, y’, ... , y (n-1)) такая, что

F(x, y, y’, ... , y (n)) = d/dxФ(x, y, y’, y’’, ... , y (n-1) ), тогда исходное ур. эквивалентно Ф(x, y, y’, y’’, ... , y (n-1)) = C.

Пример.

y*y’’ + y’2 = 1.

Решение:

(Х)х’ = 1; (y*y’)’ = y*y’’ + y’*y’; (y*y’)x’ = (Х)х’;

y*y’ = x + C1; ∫y*dy = ∫(x + C1)dx; y2/2 = x2/2 + C1*x + C2;

y2 = x2 + 2*C1*x + 2*C2; K1 = 2*C1; K2 = 2*C2 .

Ответ: y2 = x2 + K1*x + K2 .

 

Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) порядка n. Формулировка ТСЕ и задачи Коши для ЛДУ высшего порядка.

Пусть a0(x), a1(x), … , an(x), f(x) определены на I=<α,β>.

Уравнение вида a0(x)*y(n) + a1(x)*y(n-1) + … +an-1(x)*y’ + an(x)*y = f(x) называется ЛДУ порядка n (a0(x) ≠ 0).

Если a0(x) ≠ I на I, то обозначим:

Pi(x) = ai(x)/a0(x); I = 1,…,n; f(x) = b(x)/a0(x);

(1) y(n) + p1(x)*y(n-1) + … + pn-1(x)*y’ + pn(x)*y = f(x);

Если для всех xЄ I выполняется f(x) ≡ 0, то

(2) y(n) + p1(x)*y(n-1) +…+pn-1(x)*y’ + pn(x)*y = 0.

Ур. (1) – неоднородное ЛДУ порядка n;

Ур. (2) – однородное ЛДУ порядка n.

Постановка задачи Коши.

Пусть x0 Є I, y0 , y0’,…, y0 (n-1) - произвольные действ.числа. Найти решение ур. (1), удовлетворяющее начальным условиям: y(x0) = y0 , y’(x0) = y0’ , … , y(n-1)(x0) = = y0 (n-1).

Теорема. (ТСЕ 3 - для ЛДУ порядка n).

Пусть функции p1(x) , … , pn(x) , f(x) непрерывны на промежутке I=<α,β> , точка х0 Є I,

y0 ,y0’ , … , y0 (n-1) - произвольные действ. числа .

Тогда существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию: y(x0) = y0 , y’(x0) = y0’ , … , y(n-1)(x0) = y0 (n-1), определённое на всём промежутке I=<α,β>.

Замечание к ТСЕ 3.

Пусть x0 Є I, ур. (2) – однородное, и начальные условия:

y(x0) = 0 , y’(x0) = 0 , … , y(n-1)(x0) = 0.

Эта задача Коши имеет только нулевое решение y ≡ 0.

 

Теор о размерности пространства решений однородного ЛДУ порядка n . ФСР и бщее решение однородного ЛДУ порядка n.

Пусть p1(x),…, pn(x) ∈C(I),тогда пространство решений однородного ЛДУ

(7) L[y]=0= y(n)+ p1(x) y(n-1) +….+ pn(x) y порядка n конечномерно , и его размерность равна n.

Док-во.

Укажем базис в пространстве решений уравнения (7)

Зафиксируем точку x0 ∈I

y1 (x0)=1 , y(1) (x0)=0,…., y(n-1) (x0)=0

По ТСЕ эта задача имеет единственное решение , определенное н а всем промежутке I.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения (7) с начальными условиями.

y(k)(x0)=1, y(i)(x0)=0 I не равно K

Эта задача имеет решение .Обозначим его yk+1 (x)

Получим систему решений уравнения (7)

;

Эти решения линейно независимы.

— линейно независимы (по следствию 4)

Пусть φ (x)-произвольное решение уравнения (7)

Вычислим значение φ (x), φ' (x) ….. в x0∈I

Обозначим a1= φ (x0), ,…, an= φ (n-1) (x0)

Построим z(x)= a1 y1 (x)+….+ an yn (x)- φ (x)

Z(x)-решение уравнения (7)

z(x0)= a1 y1 (x0)+….+ an yn (x0)- φ (x0)=0

и все производные тоже равны 0.

Итак ,решение уравнения (7) z(x) удовлетворяет начальным условиям z(x0)=0,и все остальные производные равны нулю.

Следовательно по замечанию к ТСЕ3, решение z(x)=0

z(x)= a1 y1 (x)+….+ an yn (x)- φ (x)=0

y1 (x), ……..,yn(x)-базис в пространстве решений уравнения

Замечание ТСЕ 3.

Если z(x)= a1 y1 (x)+….+ an yn (x)- φ (x)=0 и y(x0)=0 как и все производные y, то эта задача Коши имеет только нулевое решение y=0.

 

ЛДУ порядка п и линейный дифференциальный оператор. Свойства решений однородного ЛДУ.

Пусть p1(x)…pn(x) непр на I=<a;b>

Рассм. оператор L, L: c^(n)->c(I)

L=d^n/dx^n +P1(x)d^(n-1)/dx^(n-1)+...+Pn-1(x)D/dx+Pn(x)D^0/dx^0; d^0/dx^0(f)=f ^0 = f ;

Теор. Пусть Р1(х)…Рn(х) С(I)

1) Если У1(х) и У2(х) – реш-я ЛДУ пор-ка n, и

2)Если комплекс. Функц. F(x)=U(x)+iV(x)

Реш. ур-я ЛДУ пор n, то действ часть ReF(x)=U(x) и JmF(x) = iV(x) – реш-е ур-я ЛДУ пор n.



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-07; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.204.48.64 (0.011 с.)