Оду порядка n: определение решения, постановка задачи Коши, формулировка тсе.

Пусть Ω область в пр-ве Rⁿ⁺¹ и в Ω задана непрер. ф-я f(x, y, _{U1, …, Un-1}) Соотношение y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y’,..., y^{(n – 1)} )(1) вида называется ОДУ порядка n, разрешенным относительно старшей производной.

Опр.: Ф-я φ(x) определенная на промежутке I=<α;β>, наз-ся реш-ем ур-ия (1), если вып-ся след. условия:1) φ(x) Є С_n(I); 2) "x Є I точка: (x,φ(x), φ’(x),…, φ^(n-1)(x)) Є Ω; 3) "x Є I точка: φ⁽ⁿ⁾(x) ≡ f(x, φ(x), φ’(x), …, φ^(n-1)(x)).

Постановка задачи Коши. Пусть Ω обл пр-ва R^n-1_, f(x, y, _{U1, …, Un-1}) определена и непрер в Ω, числа (x₀, y₀, y₀’,…, y₀ ^(n-1)) такие, что (x₀, y₀, y₀’,…, y₀ ^(n-1)) Є Ω. Найти ф-ю, опред на интервале (x₀-δ; x₀+δ) являющ реш-ем ур-ия (1) и удовлет усл y₀ = φ(x₀), y₀’= φ’(x₀),…, y₀ ^(n-1) = = φ^(n-1)(x₀) нач данные: (x₀, y₀, y₀’,…, y₀ ^(n-1)). Запись задачи Коши: y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y’,...,y ^{(n – 1)} ), y(x₀) = y₀, y’(x₀) = y₀’, …, y^(n-1)(x₀) = y₀ ^(n-1).

TCE 2(локаль): Пусть Ω область в Rⁿ⁺¹, (x₀, y₀, y₀’,…, y₀ ^(n-1)),численно, такие, что (x₀, y₀, y₀’,…, y₀ ^(n-1)) Є Ω. Если ф-я f(x, y, _{U1, …, Un-1})и частн призв ∂f /∂u_i (x, y, _{U1, …, Un-1})(i=1,…,n-1) непрер в обл Ω, то в некоторой окрест =(x₀-h; x₀+h) сущ реш-я ур-ия y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y’,..., y^{(n – 1)} ), и это реш-ие удовлет усл y(x₀) = y₀, y’(x₀) = y₀’, …, y^(n-1)(x₀) = y₀ ^(n-1) и это реш-ие единственно.

Физический смысл: x(t) – координата точки массы m на оси x. x’= dx/dt - это скорость; x’’=d²x/dt² - это ускорение; f(t, x, x’) – это сила, действующая на точку. m*x’’ = f(t, x, x’). Начальные условия: {t₀ – нач момент времени; x(t₀) – нач координата; x₀’ – нач скорость {m*x’’ = f(t, x, x’); x(t₀) = x₀; x’(t₀) = x₀’.

 

Простейшие методы понижения порядка.

Примеры.

(1) F(x, y, y’,..., y ⁽ⁿ⁾) = 0 – называется неразрешённым относительно старшей производной.

I. F(x, y ’, y ’’,..., y ⁽ⁿ⁾ ) = 0 – функция не содержит y.

Осуществим замену переменной: х – независимая переменная;

z(x) = y’(x), y’’= z’,…,y⁽ⁿ⁾ = z^(n-1)

F(x, z, z’, …, z^(n-1)) = 0.

II. Левая часть не содержит (явно) x.

F(y, y’, y’’..., y ⁽ⁿ⁾ ) = 0; у – независимая переменная;

t = t(y) = y_x’; t – функция от у.

y_xx’’ =(у_х’)_х’ = t_x’= t_y’*y_x’= t*t_y’

y_xxx’’’ = (y_xx’’)’ = (t*t_y’)_x’ = (t*t_y’)_y’*y_x’ = t*(t*t_y’)_y’

F(y, t, t_y’..., t ^(n-1) ) = 0.

III. F(x, y, y’,..., y ⁽ⁿ⁾) = 0;

Пусть Ф(x, y, y’,..., y ^(n-1)) такая, что

F(x, y, y’,..., y ⁽ⁿ⁾) = d/dxФ(x, y, y’, y’’,..., y ^(n-1) ), тогда исходное ур. эквивалентно Ф(x, y, y’, y’’,..., y ^(n-1)) = C.

Пример.

y*y’’ + y’² = 1.

Решение:

(Х)_х’ = 1; (y*y’)’ = y*y’’ + y’*y’; (y*y’)_x’ = (Х)_х’;

y*y’ = x + C₁; ∫y*dy = ∫(x + C₁)dx; y²/2 = x²/2 + C₁*x + C₂;

y² = x² + 2*C₁*x + 2*C₂; K₁ = 2*C₁; K₂ = 2*C₂.

Ответ: y² = x² + K₁*x + K_2.

 

Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) порядка n. Формулировка ТСЕ и задачи Коши для ЛДУ высшего порядка.

Пусть a₀(x), a₁(x), …, a_n(x), f(x) определены на I=<α,β>.

Уравнение вида a₀(x)*y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)*y^(n-1) + … +a_n-1(x)*y’ + a_n(x)*y = f(x) называется ЛДУ порядка n (a₀(x) ≠ 0).

Если a₀(x) ≠ I на I, то обозначим:

P_i(x) = a_i(x)/a₀(x); I = 1,…,n; f(x) = b(x)/a₀(x);

(1) y⁽ⁿ⁾ + p₁(x)*y^(n-1) + … + p_n-1(x)*y’ + p_n(x)*y = f(x);

Если для всех xЄ I выполняется f(x) ≡ 0, то

(2) y⁽ⁿ⁾ + p₁(x)*y^(n-1) +…+p_n-1(x)*y’ + p_n(x)*y = 0.

Ур. (1) – неоднородное ЛДУ порядка n;

Ур. (2) – однородное ЛДУ порядка n.

Постановка задачи Коши.

Пусть x₀ Є I, y₀, y₀’,…, y₀ ^(n-1) - произвольные действ.числа. Найти решение ур. (1), удовлетворяющее начальным условиям: y(x₀) = y₀, y’(x₀) = y₀’, …, y^(n-1)(x₀) = = y₀ ^(n-1).

Теорема. (ТСЕ 3 - для ЛДУ порядка n).

Пусть функции p₁(x), …, p_n(x), f(x) непрерывны на промежутке I=<α,β>, точка х₀ Є I,

y₀,y₀’, …, y₀ ^(n-1) - произвольные действ. числа.

Тогда существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию: y(x₀) = y₀, y’(x₀) = y₀’, …, y^(n-1)(x₀) = y₀ ^(n-1), определённое на всём промежутке I=<α,β>.

Замечание к ТСЕ 3.

Пусть x₀ Є I, ур. (2) – однородное, и начальные условия:

y(x₀) = 0, y’(x₀) = 0, …, y^(n-1)(x₀) = 0.

Эта задача Коши имеет только нулевое решение y ≡ 0.

 

Теор о размерности пространства решений однородного ЛДУ порядка n. ФСР и бщее решение однородного ЛДУ порядка n.

Пусть p1(x),…, pn(x) ∈C(I),тогда пространство решений однородного ЛДУ

(7) L[y]=0= y(n)+ p1(x) y(n-1) +….+ pn(x) y порядка n конечномерно, и его размерность равна n.

Док-во.

Укажем базис в пространстве решений уравнения (7)

Зафиксируем точку x0 ∈I

y₁ (x0)=1, y⁽¹⁾ (x0)=0,…., y^(n-1) (x0)=0

По ТСЕ эта задача имеет единственное решение, определенное н а всем промежутке I.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения (7) с начальными условиями.

y^(k)(x0)=1, y⁽ⁱ⁾(x0)=0 I не равно K

Эта задача имеет решение.Обозначим его y_k+1 (x)

Получим систему решений уравнения (7)

;

Эти решения линейно независимы.

— линейно независимы (по следствию 4)

Пусть φ (x)-произвольное решение уравнения (7)

Вычислим значение φ (x), φ' (x) ….. в x0∈I

Обозначим a₁₌ φ (x0), _,…, a_n= φ ^(n-1) (x0)

Построим z(x)= a₁ y₁ (x)+….+ a_n y_n (x)- φ (x)

Z(x)-решение уравнения (7)

z(x0)= a₁ y₁ (x0)+….+ a_n y_n (x0)- φ (x0)=0

и все производные тоже равны 0.

Итак,решение уравнения (7) z(x) удовлетворяет начальным условиям z(x0)=0,и все остальные производные равны нулю.

Следовательно по замечанию к ТСЕ3, решение z(x)=0

z(x)= a₁ y₁ (x)+….+ a_n y_n (x)- φ (x)=0

y₁ (x), ……..,y_n(x)-базис в пространстве решений уравнения

Замечание ТСЕ 3.

Если z(x)= a₁ y₁ (x)+….+ a_n y_n (x)- φ (x)=0 и y(x0)=0 как и все производные y, то эта задача Коши имеет только нулевое решение y=0.

 

ЛДУ порядка п и линейный дифференциальный оператор. Свойства решений однородного ЛДУ.

Пусть p1(x)…pn(x) непр на I=<a;b>

Рассм. оператор L, L: c^(n)->c(I)

L=d^n/dx^n +P1(x)d^(n-1)/dx^(n-1)+...+Pn-1(x)D/dx+Pn(x)D^0/dx^0; d^0/dx^0(f)=f ^0 = f ;

Теор. Пусть Р1(х)…Рn(х) С(I)

1) Если У1(х) и У2(х) – реш-я ЛДУ пор-ка n, и

2)Если комплекс. Функц. F(x)=U(x)+iV(x)

Реш. ур-я ЛДУ пор n, то действ часть ReF(x)=U(x) и JmF(x) = iV(x) – реш-е ур-я ЛДУ пор n.