Тема №9: работа сау при случайных воздействиях

Введение

При действии на систему входного воздействия, которое представляет собой случайную функцию времени, на выходе САУ также будет случайная величина, т.е. будет тоже случайная функция времени. Рассмотренные ранее показатели качества не могут быть использованы для оценки поведения системы, к которой приложены такие воздействия. Наиболее правильным подходом к исследованию САУ, находящихся под влиянием случайных воздействий, является подход с позиций теории вероятностей. Известно, что случайные процессы подразделяются на стационарные и нестационарные. Если закон распределения не зависит от времени, то такой случайный процесс называется стационарным, в противном случае - нестационарным. Стационарные случайные процессы обладают свойством эргодичности, в соответствии с которой для стационарного случайного процесса с вероятностью, равной единице, всякое среднее по множеству равно соответствующему среднему по времени. В этом случае для определения статистических характеристик, вместо параллельного испытания многих однотипных систем в один и тот же момент времени, пользоваться одной кривой x(t), полученной при испытании одной системы в течение длительного времени.
В общем случае случайное воздействие f(t) состоит из среднего значения m_f(t) и центрированной случайной части f⁰(t), т.е.

f(t) = m_f(t) + f⁰(t).

Соответственно выходная величина

x(t) = m_x(t) + x⁰(t).

Для линейных систем на основании принципа суперпозиции каждая из составляющих находится порознь: m_x(t) - как реакция на m_f(t), а x⁰(t) - как реакция на f⁰(t).
Очевидно значения m_x(t) и m_f(t) являются неслучайными величинами и связаны через передаточную функцию системы:

m_x(t) = W(p) m_f(t).

Для стационарного случайного процесса m_x(t) и m_f(t) являются постоянными величинами. Поэтому на основании уравнения статики

m_x(t) = W(0) m_f(t). (9.1)

© В.Н. Бакаев, Вологда 2004. Разработка электронной версии: М.А.Гладышев, И.А. Чуранов.
Вологодский Государственный Технический Университет.
Кафедра Дистанционного и Заочного обуч

Корреляционная функция

Для определения центрированных стационарных случайных величин f⁰(t) и x⁰(t) необходимо знать их либо корреляционные функции R(τ), либо спектральные плотности S(ω).
Корреляционная функция R(τ) случайной функции x(t) - есть среднее значение произведения двух значений этой функции, сдвинутых на определенный промежуток времени τ, т.е.

R_x(τ) = M[x(t) x(t+τ)]. (9.2)

Вследствие инерционности любой САУ случайный процесс не может изменяться бесконечно быстро, т.е. текущее значение случайной функции x(t) не является совершенно не зависимой величиной, а в какой-то степени в среднем зависит от предшествующего ее значения или, как говорят, коррелировано с ним. Корреляционная функция служит мерой этой зависимости. Она тем больше, чем меньше последующее значение данной случайной функции
x(t+τ) в среднем отличается от ее текущего значения x(t). Максимальное значение ее при τ=0, когда x(t+τ) = x(t), или R_x(0)=M[x²].
И всегда R_x(τ) < R_x(0) (рис.9.1).

Рис. 9.1. Корреляционная функция случайного процесса

Основные свойства корреляционной функции стационарного случайного процесса [2,12]:
1) корреляционная функция является четной функцией, т.е. R(τ)=R(-τ);
2) при τ=0 корреляционная функция дает средний квадрат случайной величины

R_x(0) = M[x²] = D_x, (9.3)

где [Dx] = в² - дисперсия случайной величины.
Дисперсия случайной величины - это математическое ожидание квадрата центрированной случайной составляющей

при τ-> имеем (9.4)
Корреляционная функция суммы двух стационарных случайных процессов x(t)=f(t)+y(t) определяется как

, (9.5)

где R_fy(τ), R_yf(τ) - взаимные корреляционные функции. Они характеризуют взаимную связь двух случайных процессов между собой в моменты времени, отстоящие друг от друга на промежуток времени τ. При τ=0 будет R_fy(0) = R_yf(0). Для не связанных друг с другом случайных процессов очевидно R_fy(τ) = R_yf(τ) = 0.
Случайный процесс характеризуется еще рядом показателей:
среднеквадратическое значение [x_ск]=в

(9.6)

среднее квадратическое отклонение

(9.7)

© В.Н. Бакаев, Вологда 2004. Разработка электронной версии: М.А.Гладышев, И.А. Чуранов.
Вологодский Государственный Технический Университет.
Кафедра Дистанционного и Заочного об

Спектральная плотность

Спектральная плотность S(ω) стационарного случайного процесса x(t) - это частотная функция, характеризующая спектральный (частотный) состав процесса, и представляет собой частотную характеристику для средних значений квадратов амплитуд гармоник, на которые может быть разложен случайный процесс. Спектральная плотность представляет собой двустороннее преобразование Фурье от корреляционной функции и имеет размерность [S(ω)]=в²/гц=в²с

. (9.8)

Чтобы определить корреляционную функцию R_x(τ) по известной спектральной плотности S_x(ω) используется обратное преобразование Фурье

. (9.9)

Для τ=0 имеем

. (9.10)

По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от ω до +dω. На рис.9.2 изображены характеристики R(τ) и S(ω) для различных случайных процессов.

Рис.9.2. Графики спектральных плотностей и корреляционных функций для различных случайных процессов

Кривые 4 на рис.9.2. соответствуют чисто случайному процессу, когда связь между последующими значениями x(t) совсем отсутствует. Такой случайный процесс называется белым шумом, т.е. при τ 0 R_x(τ) = 0, а S(ω) =const.
Следовательно, для исследования САУ со случайным необходимо вычисление либо корреляционных функций R(τ), либо спектральных плотностей S(ω) входных и выходных переменных.
Для установления взаимосвязи между корреляционными функциями переменных входа и выхода системы, а также взаимосвязи между их спектральными плотностями используется известное интегральное уравнение (интеграл Дюамеля), на основании которого

(9.11)

где w(t) - весовая или импульсная функция замкнутой системы по входному воздействию f(t); τ₁ - вспомогательное время интегрирования.
Это же выражение для x(t+τ) будет

(9.12)

где τ₂ - вспомогательное время интегрирования.Тогда корреляционная функция выходной величины

(9.13)

Учитывая формулы (9.8) и (9.9) корреляционная функция

(9.14)

Подставляя это выражение для определения корреляционной функции выходной величины (9.13) и поменяв порядок интегрирования, получим

Так как

то
(9.15)
Для дисперсии выходной величины получаем

(9.16)

Из приведенных выше выражений можно получить связь между спектральными плотностями входной и выходной величинами САУ при случайных стационарных процессах

(9.17)

где W(jω) - частотная передаточная функция системы.
Таким образом, спектральная плотность стационарного случайного процесса на выходе системы равна спектральной плотности входного воздействия, умноженной на квадрат амплитудной частотной характеристики системы.

© В.Н. Бакаев, Вологда 2004. Разработка электронной версии: М.А.Гладышев, И.А. Чуранов.
Вологодский Государственный Технический Университет.
Кафедра Дистанционного и Заочного обучен