Модуль 3. Нелинейные системы автоматичекого управления

МОДУЛЬ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕКОГО УПРАВЛЕНИЯ

 

РАЗДЕЛ 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ САУ

Особенности нелинейных систем управления

Рассмотренные ранее системы, в том числе и импульсные, описываются линейными дифференциальными уравнениями. Однако существуют системы, которые могут быть описаны только нелинейными дифференциальными уравнениями.

Если система содержит хотя бы одно нелинейное звено (НЗ), то она называется нелинейной САУ.

Нелинейные системы часто встречаются на практике. Вообще большинство САУ является нелинейными и лишь для упрощения задач анализа и синтеза проводится их линеаризация, то есть НЗ заменяется приближенным линейным при ограниченных пределах изменения входной величины.

Существуют нелинейные объекты регулирования. Кроме того, НЗ вводят в систему преднамеренно для улучшения качества процесса регулирования.

Перед теорией регулирования нелинейных систем стоят задачи:

1) Анализ, то есть исследование процессов в НЗ, исследование устойчивости и качества переходных процессов нелинейных систем.

2) Синтез, то есть выбор корректирующих устройств, параметров или структуры с целью получения заданного качества переходных процессов.

ТАУ нелинейных систем имеет особенности:

1. При анализе процессов в нелинейных системах нельзя использовать принцип суперпозиции, так как в нелинейных системах качественные показатели переходной характеристики зависят от уровня входного сигнала.

t

Xвых

В линейных системах принцип суперпозиции может быть использован. Реакция на ступенчатое воздействие приведена на рис. 26.1.

t

Xвх

2* 1(t)

1(t)

Рис. 26.1

 

Для нелинейных систем нельзя использовать принцип суперпозиции, так как реакция на ступенчатый сигнал может иметь вид (рис. 26.2).

t

Xвх

2*1(t)

1(t)

t

Xвых

Рис. 26.2

 

Это затрудняет исследование нелинейных систем. И для нелинейных систем теряют смысл показатели качества систем при единичном входном воздействии, такие как t_p и s%.

2. В нелинейных САУ иначе рассматривается вопрос устойчивости. Если в линейных САУ незатухающие колебания являются признаком неработоспособности системы, то в нелинейных системах такой режим является допустимым, а иногда и единственно возможным и под устойчивостью в этом случае понимается устойчивость автоколебаний.

При исследовании нелинейных систем часто используют понятие устойчивости в некоторой области. В этом случае понятие устойчивости для нелинейных систем совпадает с понятием устойчивости для линейных систем.

3.Нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и сложность решения нелинейных дифференциальных уравнений привела к созданию ряда приближенных методов.

Существует аналитические и графические методы, а также широко применяют ЭВМ.

Для решения задач анализа и синтеза систем разработаны методы.

Точные: метод припасования, метод фазовой плоскости.

Приближенные: метод гармонической линеаризации, метод гармонического баланса и метод статистической линеаризации.

Теория нелинейных систем разработана в трудах российских ученых: Крылова А. Н, Боголюбова Е. В., Андронова А. А, Попова Е. П. и других.

Общие характеристики НЗ

Характеристика нелинейного одномерного звена может быть записана следующим образом ,где – нелинейная функция, которая может иметь определенные свойства. Нелинейное звено можно представить в структурной форме (рис. 26.3)

Рис. 26.3

НЗ

x 1

x2

F(x1)

 

 

Свойства нелинейной функции.

1) Симметрия

X2

X1

Рис. 26.4

а) Если удовлетворяет условию , то она симметрична относительно оси ординат.

 

 

X1

X2

Рис. 26.5

б) Если функция удовлетворяет условию , то нелинейная функция обладает симметрией относительно начала координат.

 

2) Гладкость.

Если в любой точке существует производная , то нелинейная характеристика называется гладкой.

3) Однозначность.

Если каждому значению x₁ соответствует одно значение x₂, то характеристика называется однозначной, если несколько значений, то неоднозначной.

 

Характеристиками

 

X2

X1

-b

b

C

1) Звено типа “ограничение”.

Рис. 26.6

 

2) Звено типа “зона нечувствительности”.

Рис. 26.7

X2

X1

-b

b

 

3) Звено типа “ограничение + зона нечувствительности”.

Рис. 26.8

-b -mb

mb b

C

X2

Х1

 

-C

C

X2

4) Идеальное реле

X1

Рис. 26.9

На выходе системы

 

(26.2)

 

Пусть в обоих случаях входные сигналы “ x ” равны, тогда из (26.1) и (26.2) следует, что выходные сигналы не равны.

Следовательно, при последовательном соединении нелинейных звеньев не выполняется принцип коммутативности, поэтому НЗ нельзя менять местами.

 

2) Параллельное соединение

 

Рис. 26.16

 

x = x₁ = x₂

3) Встречно– параллельное соединение звеньев.

Рис. 26.17

 

Выходная величина выражена в этом случае неявно.

Критерий Сильвестра.

Квадратичная форма (28.12) положительно определенная, если все “ n ” определителей |P₁|,|P₂|,…,|P_n| – положительны.

Пример:

так как р₁₂ = р₂₁.

Определение устойчивости линейной системы.

Дифференцирование функции Ляпунова в виде (28.12).

Пусть имеем линейную автономную систему, которая описывается уравнением состояния

(28.13)

Тогда сопряженная система будет иметь вид

(28.14)

Пусть V()=x^TPx – функция Ляпунова.

Тогда найдем производную функции Ляпунова по времени с учетом (28.13) и (28.14)

 

Введем обозначение (28.16)

 

Тогда если матрица Q положительно определена, то система (28.13) асимптотически устойчива, так как

 

 

Эти результаты применяют при синтезе адаптивных систем управления, которые обычно содержат в своем составе как линейные, так и нелинейные части.

 

 

29.УСЛОВИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

 

МОДУЛЬ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕКОГО УПРАВЛЕНИЯ