Метод гармонической линеаризации нелинейностей

Из-за трудностей описания нелинейные системы обычно сводят, если это возможно, к линейным.

Ранее была рассмотрена линеаризация вблизи рабочей точки, однако она требует непрерывных нелинейных функций и малых отклонений переменных, это – линеаризация во временной области.

Гармоническая линеаризация – это линеаризация в частотной области. При этом нелинейный элемент заменяется линейным, но эквивалентным исходному, только относительно основной составляющей колебаний. Гармоническая линеаризация может успешно применяться в случае разрывных кривых и значительных отклонений переменных.

Этот метод нашел широкое применение для определения автоколебательных процессов и устойчивости нелинейных систем. Является мощным методом исследования, так как применяется для систем любого порядка.

Единственное ограничение: необходимо, чтобы линейная часть системы обладала хорошими фильтрующими свойствами, то есть подавляла все гармоники, кроме первой.

Пусть имеем НЗ, которое описывается уравнением:

 

(27.1)

 

где x₁ – сигнал на входе НЗ;

x₂ – сигнал на выходе НЗ;

p – оператор дифференцирования.

Пусть сигнал на входе НЗ

. (27.2)

 

Тогда

. (27.3)

 

Выходной сигнал НЗ, соответствующий уравнению (27.1), может быть разложен в ряд Фурье

 

(27.4)

 

где

(27.5)

 

Пусть a₀ = 0, то есть постоянная составляющая равна нулю.

Из (27.2) и (27.3) имеем

(27.6)

Тогда (27.4) можно записать следующим образом:

. (27.7)

 

где и – коэффициенты гармонической линеаризации.

Таким образом, при (27.1) заменяем уравнением (27.7), которое с точностью до высших гармоник аналогично линейному.

Эта операция называется гармонической линеаризацией.

Если на входе НЗ действует сигнал с постоянной амплитудой и частотой, то и являются постоянными. Таким образом, коэффициенты линеаризации будут постоянны при постоянных значениях a и ω, то есть в случае периодического процесса. Однако в общем случае это условие не выполняется и коэффициенты и будут переменными и зависят от амплитуды входного сигнала и его частоты.

Рассмотрим гармоническую линеаризацию для простой нелинейной зависимости

^.

Здесь возможны два случая.

1. Нелинейная характеристика имеет петлю гистерезиса (рис. 27.1).

В этом случае выходной сигнал будет зависеть от знака производной входного сигнала.

Рис. 27.1

b

x1

С

-b

x2

 

 

Тогда, если на вход действует сигнал

(27.8)

 

то . (27.9)

Высшими гармониками ряда в выходном сигнале пренебрегают.

Коэффициенты гармонической линеаризации

2. Нелинейная характеристика не имеет гистерезисной петли (рис. 27.2).

В этом случае при x = x₁ = a sinψ, dx = a cosψ dψ.

x1

x2

В интеграле заменим переменную ψ на x.

Новые пределы интегрирования для переменой x:

ψ = 0 => x = 0,

ψ= 2π => x = 0,

Рис. 27.2

 

 

Таким образом, получим

 

 

Следовательно, при отсутствии гистерезисной петли уравнение после линеаризации имеет вид

.