Автоколебательного режима и его устойчивости

Практически пользоваться выражением (27.17) неудобно, так как требуется подобрать два параметра и , поэтому задачу решают графически.

Для этого запишем (27.17) следующим образом

 

(27.18)

 

где: – обратный комплексный коэффициент передачи НЗ, который равен

. (27.19)

 

Уравнение (27.18) можно решить графически. Для этого нужно построить на комплексной плоскости годографы линейной части системы

 

и обратного комплексного коэффициента передачи НЗ

 

.

Рис. 27.13

Im

Re

ω

W л(j ω)

a п

ωп

–M н(a)

a

В точке пересечения годографов (рис. 27.13) выполняется условие (27.18) и могут существовать автоколебания.

Параметры их определяются следующим образом: значение частоты определяют из годографа линейной части , а значение амплитуды определяется из годографа .

Пересечение графиков показывает, что в системе возможны автоколебания. Следующим этапом является определение устойчивости этих автоколебаний.

 

52 Анализ устойчивости системы и устойчивости предельного цикла

 

Запишем условие гармонического баланса в следующем виде.

 

. (27.20)

Здесь – модуль передачи нелинейного элемента,

.

Уравнение (27.20) можно представить в виде двух уравнений

 

, (27.21)

; где m = 0, ±1, ±2,…

Допустим, получили следующее расположение годографов (рис. 27.14).

 

Im

Re

D 0

D 1

W л(j ω)

– M н(a)

Рис. 27.14

2′

a

Рис. 27.15

Im

Re

D 0

D 1

W л (j ω )

1′→ ←

1′′

–M н(a)

 

 

 

 

Пусть весь годограф нелинейного звена лежит в области D ₀, то есть условие (27.20) не выполняется, так как , значит и в соответствии с критерием Найквиста система устойчива, поэтому в ней будут затухающие колебания.

Аналогично можно показать, что если весь годограф лежит в области D ₁, то система будет неустойчива, и в ней будут существовать расходящиеся колебания.

Если годографы пересекаются (рис. 27.15), то в системе возможны автоколебания в точках 1 и 2. Определим, где автоколебания устойчивы?

В точке 1– амплитуда – а _п; в точке – амплитуда – (а _п + ∆a); в точке – амплитуда – (а _п – ∆a).

Пусть существуют автоколебания в точке 1 с параметрами а _п и ω_п. Допустим, произошло увеличение амплитуды а _п + ∆a (точка ). Рабочая точка находится в области D ₀, то есть система устойчива и амплитуда колебаний уменьшится до а _п.

Пусть амплитуда колебаний уменьшается, то есть а _п – ∆a (точка ). Рабочая точка находится в области D ₁, то есть система неустойчива и амплитуда колебания возрастет до а _п.

Следовательно, точка 1 соответствует устойчивому предельному циклу.

Рассмотрим точку 2.

Пусть а понижается, то есть а _п – ∆a (точка 2′). В этом случае система устойчива и колебания затухающие. Следовательно, точка 2 соответствует неустойчивому предельному циклу.

На основе проведенного анализа сформулируем правило определения устойчивости автоколебаний: автоколебания устойчивы, если годограф не охватывает точку на годографе в которой a = a _п + Δa, a > 0.

Пример. Метод гармонического баланса.

Дана нелинейная система следующего вида (рис. 27.16). Параметры системы равны:

Определить, возможны ли автоколебания и если возможны, то найти их параметры.

x2

xвх=0

x1

xвых

–

-b

b

С

 

 

Рис. 27.16

Рис. 27.16

 

 

Для решения воспользуемся условием гармонического баланса

в соответствии, с которым следует построить годографы

Построим годограф . Комплексный коэффициент передачи нелинейного звена будет равен

 

,

где

 

Тогда обратный комплексный коэффициент передачи примет вид

 

Построим его.

 

.

соnst

Годограф линейной части строим по выражению

 

-0.02

-0.03

Im

а

ω=500

-0.01

ω=1000

ω=250

-МН(а)

a=b=0.5

WЛ(jω)

Re

Рис. 27.17

Годографы построены на рис. 27.17.

Автоколебания возможны и имеют параметры:

 

 

53 МЕТОД ЛЯПУНОВА

28.1. Понятие о знакоопределенных, знакопостоянных и

знакопеременных функциях

Пусть имеется функция нескольких переменных .

При эта функция может быть изображена на фазовой плоскости, при – в трехмерном пространстве. В каждой точке пространства функция имеет определенное значение.

Будем рассматривать только такие функции, которые обращаются в нуль в начале координат, то есть при

, .

Кроме того, должна быть непрерывна в некоторой области вокруг начала координат.

Функция называется знакоопределенной в некоторой области, если во всех точках этой области она сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме начала координат.

Для такая функция может иметь вид

.

Функция называется знакопостоянной, если в некоторой области она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках области.

Пример для

.

Обращается в нуль на прямой и .

Функция называется знакопеременной, если в некоторой области вокруг начала координат она может иметь любой знак

Для .

 

53. Функция Ляпунова и её производная по времени

Нелинейная система может быть описана системой нелинейных уравнений:

(28.1)

где – переменные состояния системы.

(28.2)

Любая функция

(28.3)

называется функцией Ляпунова, если в качестве переменных взяты переменные системы (28.1).

Производная по времени функции Ляпунова имеет вид

(28.4)

Подставим в (28.4) выражения

(28.5)

Следовательно,

(28.6)

Таким образом, является функцией переменных состояния. Причем, согласно свойства (28.2), . Поэтому к этой функции можно применить понятие знакоопределенной, знакопостоянной и знакопеременной функции.

Теорема Ляпунова. Если при заданных в форме (28.1) уравнениях нелинейной системы n -го порядка можно подобрать такую знакоопределенную функцию , чтобы её производная по времени также была знакоопределенной или знакопостоянной, но имела знак, противоположный знаку функции V, то данная система устойчива.

Пример. Пусть задана нелинейная САУ, которая описывается системой уравнений:

(28.7)

Выберем функцию Ляпунова в виде:

 

, (28.8)

V > 0 при любых x_i,

а,b,c – произвольные вещественные числа.

Будем придавать этой функции постоянные значения 0,С₁,С₂,…., причем 0<С₁<С₂ … Тогда получим

 

(28.9)

Х1

Х2

Х3

С2

С1

M

Рис. 28.1

 

Возьмем производную от V по времени

Если полученная функция является знакоопределенной отрицательной, то есть

то V убывает во всех точках пространства, кроме начала координат,

V

t

Рис. 28.2

Таким образом, при любых начальных условиях изображающая точка M будет двигаться в сторону уменьшения функции V, то есть будет пересекать эллипсоиды и стремиться к началу координат. А это означает, что все переменные состояния системы уменьшаются, то есть система устойчива.

 

При практическом применении метода наибольшую трудность вызывает подбор функции V, так как эта задача неоднозначна и не существует формальных методов нахождения V, поэтому приходится полагаться на опыт и интуицию и подбор вариантов.

Однако, несмотря на это, метод применяется не только для исследования нелинейных систем, но и при анализе и синтезе адаптивных законов управления. Адаптивные системы управления относятся к классу нелинейных систем.