Понятие об ориентации плоскости и пространства. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства. Площадь параллелограмма.

Два базиса а₁..., аn и b1,..., bn на плоскости (n = 2) или в пространстве (n = 3) называются од­ноименными, если определитель |С| матрицы перехода С от первого базиса ко второму положителен:

|С | > 0.

Если |С|>0, то базисы называются разноименными.

Oтношение одноименности базисов является отношением эк­вивалентности.

Поскольку отношение одноименности является отношением эквивалентности, все базисы разбиваются на классы одноимен­ных базисов.

Классы одноименных базисов называются ориентациями (соответственно — прямой, плоскости и прост­ранства).

На прямой, на плоскости и в пространстве существует точно две различные ориентации: базисы, принадлежащие одной и той же ориентации, одноименны, а базисы, принадлежащие раз­личным ориентациям, разноименны.

Прямая, плоскость или пространство, для которой (ого) выбрана некоторая ориентация, называется ори­ентированной (ым). Для каждой ориентации о другая возмож­ная ориентация обозначается символом — о и называется про­тивоположной ориентацией. О базисе, принадлежащем некото­рой ориентации, говорят, что он определяет эту ориентацию. Базис ориентированной (ого) прямой, плоскости или простран­ства, определяющий данную ориентацию, называется положи­тельно ориентированным (по отношению к данной ориентации), а базис, определяющий противоположную ориентацию, назы­вается отрицательно ориентированным.

Тройка некомпланарных векторов называется право ориентированной (правой), если после приложения трех векторов к одной точке кратчайший поворот от первого ко второму вектору виден из конца третьего вектора против часовой стрелки, в противном случае – лево ориентированная (левая).

Есть и ещё один способ разделить эти два класса:

Правило правой руки: Совместите начала всех векторов тройки в одной точке. Представьте, что в этой точке находится ладонь Вашей правой руки. Совместите большой палец с первым вектором базиса, а указательный – со вторым. Если теперь вы сможете совместить средний палец с третьим вектором, то рассматриваемая тройка векторов – правая. Если нет – левая.

Выбрав один из двух классов и назвав все входящие в него базисы “положительными” мы зададим ориентацию пространства.

Для задания ориентации плоскости достаточно задать ори­ентации двух не параллельных прямых этой плоскости.

Для любой ориентации о плоскости и любой ориентации о₂ прямой а₂ существует такая ориентация о1 прямой что О = 010₂.

Для задания ориентации пространства достаточно задать ориентации произвольной прямой и произвольной не парал­лельной ей плоскости.

Векторное произведение двух векторов и его основные свойства.

Векторным произведением вектора на вектор в пространстве называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними: ;

вектор ортогонален каждому из векторов и ;

вектор направлен так, что тройка векторов является правой;

Обозначение:

Геометрические свойства:

1.Если векторы а и b коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю.

2. Если векторное произведение векторов а и b равно нулю, то векторы а и b коллинеарны.

3. Если векторы а и b приведены к общему началу, то модуль векторного произведения [a,b] равен площади параллелограмма, построенного на векторах а и b, как на сторанах.

Док-во: Обозначим площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, буквой S. Как известно из элементарной геометрии, площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними. Отсюда |a||b|sin =S, следовательно |[a,b]|=S.

Алгебраические свойства:

1.Векторное произведение а и b есть вектор, обратный векторному произведению b и а.

2.[( a)b]= [ab]

3.[a(b+c)]=[ab]+[ac]

Выражение векторного произведения двух векторов через координаты векторов в правом ортонормированном базисе.

Если векторы а и b заданы своими координатами: а={a1,a2,a3} b={b1,b2,b3} то векторное произведение вектора а на вектор b определяется формулой [ab]= {| |,-| |,| |}