Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Смешанное произведение трех векторов. Его выражение через координаты векторов в ортонормированном базисе.
е1,е2,е3 единичные векторы а={α1,α2,α3}, b={β1,β2,β3}, c={µ1,µ2,µ3} (a,b,c)=(α1*e1+ α2*e2+ α3*e3+ β1*e1+ β2*e2+ β3*e3+ µ1*e1+ µ2*e2+ µ3*e3)= Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и : Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком "минус":
11.Деление отрезка в данном отношении. Пусть на плоскости даны две произвольные различные точки, из которых одна считается первой, другая – второй. Обозначим их в заданном порядке через М1 и М2. Проведем через данные точки прямую j и назначим на ней положительное направление, тем самым мы сделаем ее осью. Пусть, далее, М – еще одна точка оси j, расположенная на ней как угодно и исключением только одного случая: она не должна совпадать с точкой М2. Число µ=М1М/ММ2, где М1М и ММ2 суть величины направленных отрезков М1М и ММ2 оси j, называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок М1М2. Замечание1.Число µ не зависит от того, как выбрано положительное направление на прямой j, определяемой точками М1 и М2. Замечание 2. Число µ не зависит и от выбора масштаба для измерения длин. В самом деле, при изменении масштаба величины отрезков на оси М1М2 умножатся на одно и то же число и следовательно отношение М1М/ММ2 не изменится. Замечание 3. Если не исключать возможности совпадения точки М с точкой М2, то в том случае, когда М совпадет с М2, равенство не определяет никакого числа.
12. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи: • C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат • А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох • В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу • В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу • А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0. Уравнение прямой, проходящей через две точки Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M2 (x 2, y 2, z 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки: Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается: если х 1 ≠ х2 и х = х 1, если х 1 = х2. Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду: и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентомk. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой. Определение. Каждый ненулевой вектор (α1, α2), компоненты которого удовлетворяют условию А α1 + В α2 = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = 0.
13. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи: • C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат • А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох • В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу • В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу • А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим
xcosφ + ysinφ - p = 0 – нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох. 14. Угол межу двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Определение. Если заданы две прямые y = k1 x + b1, y = k 2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как
. Две прямые параллельны, если k1 = k2. Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/ k2. Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В1 у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = λА, В1 = λВ. Если еще и С1 = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых. Если уравнения прямой заданы в общем виде A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6) угол между ними определяется по формуле (7) Условия параллельности двух прямых: а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов: k 1 = k 2. (8) б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е. (9) Условия перпендикулярности двух прямых: а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е. (10)
15. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как Доказательство. Пусть точка М 1(х 1, у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1: (1) Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений: Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду: A(x – x 0) + B(y – y0) + Ax0 + By0 + C = 0, то, решая, получим: Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим: Теорема доказана.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-26; просмотров: 475; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.224.44.108 (0.014 с.) |