Гиперболический параболоид. Исследование формы гиперболоида по каноническому уравнению.

Гиперболический параболоид(седловая поверхность)-поверхность второго порядка, имеющая в канонической для неё декартовой прямоугольной системе координат уравнение называемое каноническим.

α||XOY z=λ

; λ=0 пара ∩ дейст.прямых ; λ< 0 à гипербола; λ> 0 -гипербола.

β||XOZ y=μ

Для любых μ и μ=0- парабола

ɤ||YOZ x=

Для любого - парабола.

 

37. Пересечение поверхностей второго порядка.

Пусть дано уравнение поверхности второго порядка:

а₁₁х²+а₂₂у²+а₃₃z²+2а₁₂xy+2а₁₃z+2а₂₃yz+а₁₄x+а₂₄y+а₃₄z+а₄₄=0. (1)a_ij=a_ji.Пусть прямая задана координатно-параметрическим уравнением:

(2) t-параметр, {a,b,c}-направляющие коорд. вектора в прямой. М₀{x₀,y₀,z₀}-коорд. нач.точки прямой

Рассмотрим совместно поверхность F и прямую m, где F- (1), а m- (2).

 

Подставляем значения x, y, z в уравнение поверхности второго порядка. После чего, собираем все в формулу: At²+Bt+C=0. (3). А≠0, имеем два корня t₁,t₂ à t₁,≠t₂,имеем две точки пересечения; t₁,=t₂- точка касания, слившиеся две точки; - не пересекаются.А=а₁₁а²+а₂₂b²+2a₃₃c²+2a₁₂ab+2a₁₃ac+2a₂₃bc.

B=2а₁₁аx₀+2а₂₂by₀+2a₃₃cz₀+2a₁₂(bx₀+ay₀)+2a₁₃(cx₀+az₀)+2a₂₃(cy₀+bz₀)+2a₁₄a+2a₂₄b+2a₃₄c.C=a₁₁x₀²+a₂₂y₀²+a₃₃z₀²+2a₁₂x₀y₀+2a₁₃x₀z₀+2a₂₃y₀z₀+2a₁₄x₀+2a₂₄y₀+2a₃₄z₀+a₄₄.A=0, имеем Bt+C=0 следует из уравнения (3).Имеем один корень t- одна точка пересечения(не касания). При В≠0.А если В=0, С≠0, то . В=0, С=0, 0=0 тогда, t принимает любое значение. Любая точка прямой лежит на поверхности. Любая прямая, т.е.прямая на поверхности.А в случае, если для поверхности F и прямая m величина А уравнения (3)=0, то прямую m называют асимптотического направления, для поверхности F. Если же А≠0, то m не асимптотического направления. Таким образом координаты направляющего вектора прямой асимптотического направления должны удовлетворять уравнению: a₁₁a²+a₂₂b²+a₃₃c²+2a₁₂ab+2a₁₃ac+2a₂₃bc=0.

38. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида.

У однополостного гиперболоида есть два семейства прямолинейных образующих. Через каждую его точку проходит по семейству из каждого семейства.

à à

1-ое семейство.

(2)

2-ое семейство.

(3)

При данных p и q система (2) определяет прямую l, перемножая левые и правые части уравнений системы (2) и сокращая на произведение pq (при условии, что pq≠0) получим в точности уравнение (1), следовательно любая точка прямой l ϵ гиперболоиду. Предположим, что pq=0, тогда по условию p=0, q≠0. Тогда, уравнения системы (2) дают:

, и тогда уравнение (1) выполнимо. Следовательно, вновь любая точка прямой l ϵ гиперболоиду.

Для случая p≠0, q=0 уравнения системы (2) дадут: , и уравнение вновь удовлетвориться.

Покажем, что через каждую точку гиперболоида проходит по одной прямой из семейств 1 и 2. Рассмотрим семейство 1.

M₀(x₀,y₀z₀) ϵ гиперболоиду.

Задачей является подобрать соответствующие p и q. Если, в уравнение (5), хотя бы один из множителей при p и q отличен от 0, то можем положить q= ; p= , и тогда подставляя полученное p и q в уравнение (6), в точности получим уравнение (1). И, следовательно, через точку M₀ гиперболоида проходит прямая из 1-го семейства.

Если же уравнение (5) сводится к равенству 0=0, то рассмотрим уравнение (6), и положим q= ; p= , заметим, что в данном случае (q≠0) так как ; таким образом уравнение (5) при данных p и q сводится к уравнению (1). А уравнение (6) выполняется тождественно. И, соответственно, через точку М₀ гиперболоида проходит прямая 1-го семейства. Для 2-го семейства доказывается аналогично.

 

39. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида.

У гиперболического параболоида есть два семейства прямолинейно-образующих. Через каждую точку гиперболического параболоида проходит по образующей из каждого семейства.

1-ое семейство.

(2)

2-ое семейство.

(3)

Рассмотрим прямую l ϵ 1-ому семейству. Подставляя второе уравнение в первое из системы (2) и сокращая на q в очности получим уравнение (1), т.е. для любого х, у удовлетворяющих второму уравнению системы (2) удовлетворяется и первое.

Пусть точка M₀(x₀,y₀z₀) принадлежит гиперболоиду, положим в системе (2) p = ; q=1, то второе уравнение системы будет выполняться тождественно, а первое в точности дает уравнение (1). И, следовательно, х=х₀,у=у₀,z=z₀, оба уравнения системы (2) удовлетворяются, и, следовательно, через точку М гиперболоида, проходит прямая семейства 1.

Для семейства 2 определяемого системой (3), можно положить q^|= ; p^|=1 и х=х₀,у=у₀,z=z₀, система (3) удовлетворяется, проходит прямая семейства 2.