Билет №23 Базис, координаты вектора, размерность пространства.

Упорядоченная система из n элементов называется

n-мерным вектором.

Множество Ln называется n-мерным линейным пространством над полем

скаляров R, если определена операция сложения

и операция умножения на число при выполнении

8 аксиом ЛП.

Если n-размерность пространства Ln, то это значит, существует в Ln n линейно

независимых векторов, а любые (n+1) векторов являются линейно зависимыми.

Базис пространства Vn– максимальная по включению линейно независимая система

векторов из Vn

Таким образом, если - базис пространства Vn

1)то вектора { } образуют линейно независимую систему

В каждом пространстве геометрических векторов существует множество различных

базисов, но они все состоят из одного и того же числа векторов. Число векторов в

базисе пространства называется размерностью этого пространства.

Любой вектор х принадлежащий L может быть разложен по базису, то есть представлен

в виде линейной комбинации базисных векторов и при том единственным

образом

Коэффициенты этого разложения x1,…,xn называется координатами вектора х в

базисе

Билет №26

Линейный оператор и его матрица.

Оператором над линейным пространством L (или преобразованием L) называется

однозначное отображение , при котором каждому вектору

ставится в соответствии единственный вектор .

Обозначение: . Вектор Х называется прообразом У

а У – образом Х. Оператор называется линейным если выполняются условия:

1)аддитивности

2)однородности .

Пусть – n-мерное линейное пространство, -базис в нём,

и –линейный оператор над . Пусть .

Тогда т.е., зная образы базисных векторов,

мы можем восстановить образ любого вектора из .

Найдём образы базисных векторов:

Матрица

называется матрицей линейного оператора в базисе

Обозначается . Иногда индекс е опускается, если и так ясно, о каком базисе идёт речь.

Матрицей л.о. называется матрица, столбцы которой состоят из координат(в базисе )

образов (под действием ) базисных векторов.

 

 

Билет№27

Матрица перехода, преобразование координат вектора и матрицы линейного оператора

При переходе к новому базису.

Ln – ЛВП (линейно-векторное пространство)

Известны 2 базиса: Получим разложением векторов {e’}

в базисе {e}

В столбцах матрицы перехода стоят координаты разложения нового базиса {e’}

в старом базисе {e}

Пусть x принадлежит Ln

Формула преобразования координат при преобразовании базиса выглядит следующим образом:

Билет№28

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора,

Собственные значения линейного оператора, относящиеся к различным собственным

Значениям

Ln-ЛВП

Число λ принадлежащее R называется собственным числом(значением) линейного

оператора φ, если найдется такой вектор x принадлежащий Ln, что выполняется:

λ - собственное число

х – собственный вектор, соответствующий собственному числу λ.

Введем базис

Тогда матрица линейного оператора φ

Собственные свойства собственных векторов линейного оператора:

1)Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям линейного

оператора, линейно независимы

2)В базисе из собственных векторов матрица линейного оператора имеет

диагональный вид, причем на диагонали стоят собственные числа.

Действительно, пусть линейный оператор φ имеет n линейно независимых собственных

векторов ,отвечающие собственным числам λ1,… λn.

Выбираем собственные векторы в качестве базиса. Чтобы получить матрицу

нужно найти образы базисных векторов:

Оператор, матрица которого приводится к диагональному виду, называется оператором

простой структуры.

Оператор имеет простую структуру в 2-х случаях:

Замечание!!!

Оказывается, все собственные числа оператора, имеющего в ортонормированном базисе

симметричную матрицу, действительные числа.

Билет№30