Понятие линейного и векторного пространства, критерий подпространства

Линейные пространства!

Пусть L-некоторое множество, элементы которого мы будем называть «векторами»,

|Р – некоторое числовое поле. Пусть также выполнены следующие условия:

1)В L определена операция «сложения» элементов, то есть для любого х,у

принадлежащих L становится в соответствие элемент z принадлежащий L.

Обозначают .Эта операция обладает следующими свойствами:

 

2)в L определена операция «умножения» элемента на число из |Р, то есть для любого λ

принадлежащего |Р, для любого х принадлежащего L ставится в соответствии элемент y

принадлежащий L. Обозначается .

Это операция обладает свойствами

 

3)эти операции удовлетворяют законам дистрибутивности:

\

Все эти свойства называются аксиомами пространства.

Пространство L называется действительным, если |P=|R и операция умножения вектора

на число определена только для действительных чисел, и комплексным, если |P=C и эта

операция определена для комплексных чисел.

Подмножество V линейного пространства L называется линейным подпространством,

если V само является линейным подпространством относительно операций, определенных на L.

Критерий подпространства

 

Векторное пространство

Множество геометрических векторов в совокупности с введенными в предыдущем разделе

линейными операциями над ними будем называть пространством геометрических векторов.

Три пространства векторов:

Множество L называется линейным векторным пространством над полем скаляров К

если для любых элементов

Элементами ЛВП могут быть объекты любой природы, их принято называть векторами.

Элементами числового поля являются скалярные числа.

Билет№24

Однородные системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

Система или

называется однородной. Такая система всегда совместна, поскольку имеет тривиальное решение . Для существования нетривиального решения необходимо и достаточно,

чтобы система была неопределенна, т.е. , где ранг матрицы системы.

В частном случае, когда m=n, критерием нетривиальной совместности системы служит условие det А=0.

Пусть . Система имеет r базисных решений и (n-r) свободных переменных.

Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы называется набор из n-r линейно

независимых решений этой системы. ФСР составляет базис пространства решений системы.

Обозначим ФСР системы через Её удобно находить следующим образом.

Пусть базисные переменные , а - свободные. Присвоив свободным

переменным значения , найдём соответствующие значения

базисных переменных и таким образом получим

 

, подставив вместо свободных переменных значения

получим

, и так далее, .

система E линейно независима, и, следовательно, является ФСР.

Общее решение системы представляется в виде линейной комбинации ФСР

Рассмотрим на примере:

Найти общее решение системы в виде линейной комбинации ФСР.

Решение: Воспользуемся методом Гаусса и преобразуем матрицу системы

Данной матрице соответствует система

Найдём ФСР

Общее решение однородной системы

Билет №25

Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений.

 

Вернёмся теперь к рассмотрению неоднородной системы линейных уравнений

. Как связано множество её решений с обозначим общим

решением соответствующей однородной системы АХ=0? Обозначим общее

решение однородной системы через

- ФСР

однородной системы. Тогда общее решение неоднородной системы запишется

следующим образом:

Где - произвольное частное решение неоднородной системы. Соотношение

и называется структурой общего решения неоднородной системы линейных

уравнений.

Для того чтобы подчеркнуть эту структуру, общее решение в следующем виде: Векторную запись решения легко

получить из

параметрической: пусть решение в параметрическом виде выглядит так:

тогда векторная запись общего решения будет такова.