Теорема косинусов для трёхгранного угла

№ 62. В трёхгранном угле два плоских угла по 45°,а двугранный угол между ними равен 60°. Найти третий плоский угол.

Ответ:

№ 63. Определить угол между двумя смежными диагональными сечениями в кубе. (Диагональные сечения в кубе называются смежными, если они проходят через смежные стороны основания).

 

 

План решения.

1. Двугранный угол АВ₁DС - искомый, пусть его величина j.

2. Рассмотреть трёхгранный угол DAB₁C.

В обозначениях теоремы о трёх косинусах

Ð B₁DA=α, ÐB₁DC= β, ÐADC=γ,

3. α = β, γ=90°.

4. cos j. Ответ: 120°.

 

№ 64. Линейный угол двугранного угла, составленного двумя смежными боковыми гранями правильной четырёхугольной пирамиды, в два раза больше плоского угла при вершине пирамиды. Найти плоский угол при вершине пирамиды.

План решения.

1. Построения: DK ^PC, BK.

2. ÐBKD – линейный.

3. Рассмотреть трёхгранный угол CDPB.

В обозначениях теоремы о трёх косинусах

Ð РСD = α, ÐРCB = β, ÐDCВ = γ, ÐBKD = j.

4. α = β, γ=90°.

5. Выразить α и β через j.

6. Составить уравнение по теореме о трёх

косинусах.

7. Решить полученное уравнение относительно cos

Ответ:

 

№ 65. В треугольной пирамиде две боковые грани – равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны с и угол между ними равен γ. Одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно к плоскости основания. Найти объём пирамиды.

План решения.

1. Рассмотреть трёхгранный угол PАBC.

В обозначениях теоремы о трёх косинусах

Ð АРВ=α, ÐCРB=β, ÐАРС=γ, ÐАВС = j.

2. α = β = 45°.

3. cosj (по теореме о трёх косинусах).

4. sinj.

5. АВ, АВ=ВС=ВР.

6. S _DАВС. 7. V_SABC.

Ответ:

№ 66. Отрезок прямой, соединяющий центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен стороне основания. Найти косинус угла между смежными боковыми гранями.

План решения.

1. АО.

2. AS (DASO).

3. cos ÐSAO (DASO).

4.cosÐSAC (по теореме о трёх косинусах).

5. Рассмотреть трёхгранный угол ASBC.

В обозначениях теоремы о трёх косинусах

двугранный угол с ребром AS равен j,

ÐSAC=α, ÐSAB=β, α = β, ÐВАС =γ.

6. ÐВАС. 7. sinÐSAC. 8. cosj (по теореме косинусов).

Ответ:

№ 67. Основанием пирамиды служит правильный треугольник, одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна к плоскости основания. Найти косинус угла между двумя другими боковыми гранями, если обе они составляют с плоскостью основания один и тот же угол d.

План решения.

1. Построения:

1.1. SO ^ ABC.

1.2. OM ^ BC, SM

1.3. OK ^ AC, SK.

2. ÐSKO =ÐSMO = d.

3. Пусть АВ = АС = ВС = а.

АО = ОВ=0,5 а.

4. Выразить ОК через а (DАКО).

5. Выразить SК через а (DSКО).

6. Выразить АК через а (DАКО), выразить КС через а (DАКО).

7. tgÐSCK (DSCК), cosÐSCK, sinÐSCK.

8. Рассмотреть трёхгранный угол СASB с вершиной С. В обозначениях теоремы косинусов искомый двугранный угол с ребром SC равен j, ÐSCА=α, Ð SCB=β, α=β, ÐACB=γ.

9. ÐACB=γ. 10. cosj (по теореме косинусов).

Ответ:

№ 68. Стороны основания параллелепипеда равны а и в, а угол между ними равен α. Найти объём параллелепипеда, если боковое ребро, проходящее через вершину данного угла, составляет с его сторонами углы β и γ, а длина его равна с.

 

План решения.

1. Построения: А₁О ^ ABCD,

OK ^ AD, A₁K.

2. ÐА₁КО – линейный угол

двугранного угла с ребром AD.

3. S_ABCD.

4. А₁К.

 

5. Рассмотреть трёхгранный угол ASBC. В обозначениях теоремы о трёх косинусах двугранный угол с ребром AD равен ÐА₁КО = j, ÐBAD= α, ÐА₁AD= β, ÐA₁АB =γ.

6. cos j (по теореме косинусов). Значение cosj обозначить р.

7. sin j (выразить через р). 8. А₁О. 9. V_{призмы.}

Ответ:

№ 68. Основанием призмы служит правильный треугольник со стороной, равной а. Боковое ребро равно в и составляет с пересекающими его сторонами основания острые углы, соответственно равные α и β. Найти объём призмы.

Решение задачи аналогично решению задачи № 6.

Ответ:

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров А.Д. Геометрия: Учебное пособие для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/ А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.- 2-е изд.-М.: Просвещение, 2001.-271с.

2. Александров А.Д. Геометрия для 10-11 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики /

А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. - 3-е изд.-М.: Просвещение, 1992.-464 с.

3. Барыбин К.С. Сборник задач по математике: пособие для учителей 8-10классов/ К.С. Барыбин, А.К. Исаков. – М.: Гос. учеб.- педаг. изд-во Мин. Просвещения РСФСР, 1955. – 207 с.-

4. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач: книга для учителя / И.Г. Габович. – Киев: Радянська школа, 1989. – 160 с.

5. Геометрия: учебник для 10–11 кл. общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян [и др.]. – М.: Просвещение, 2000. – 206 с.

6. Гусев В.А. Практикум по решению математических задач: Геометрия: учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 1985. – 223 с.

7. Зив Б.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7 – 11 класса общеобразоват. учреждений/ Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский.- 3-е изд.-М.: Просвещение, 2000.-271с.

8. Киселёв А.П. Геометрия: Стереометрия: 10-11 кл.: учебник и задачник / А.П. Киселев, Н.А. Рыбкин. – М.: Дрофа, 1995. – 352 с.

9. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011: учебно-методическое пособие/ Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю. Кулабухова. - Ростов-на- Дону: Легион -М, 2010 – 416с.

10. Погорелов А.В. Геометрия: учебник для 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / А.В. Погорелов. – 10-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 175 с.

11. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы: учебное пособие/Под редакцией М.И. Сканави. - 3-е изд.-М.: Высшая школа, 1977.

12. Смирнова И.М. Геометрия: Учебное пособие для 10-11 кл. естественно- научного профиля обучения / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – М.: Просвещение, 2001.- 239 с.

13. Смирнова И.М. Устные упражнения по геометрии для 7 – 11 классов:Кн. для учителя / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – М.: Просвещение, 2003.- 174 с.

14. Худобин А.И. Сборник задач по тригонометрии: пособие для учителей/ А.И. Худобин, Н.И. Худобин. -М.: Гос. учеб.- педаг. изд-во Мин. Просвещения РСФСР, 1954. – 186 с.

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие...........................................................................................................3