III. Углы между прямыми и плоскостями

Теоретическая карта №3

Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость [5, с. 43], [10, с. 51 ].

Угол φ между прямой АВ и её проекцией ВО на плоскость α (рис. 176) является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, проведенными на плоскости через точку В.

Угол между плоскостями

Определение 1. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 178). Если φ тот из четырёх углов, который не превосходит каждого из остальных, то говорят, что угол между пересекающимися плоскостями равен φ, Очевидно, что 0°< φ≤90° [5, с.48].

 

 

Замечание.

Напомним, что двугранный угол измеряется линейным углом, который образуется, если отметить на ребре двугранного угла какую – нибудь точку и в каждой грани из этой точки провести луч перпендикулярно к ребру (рис. 179).

Покажем иные способы построения линейного угла.

Определение 2. Пусть данные плоскости пересекаются (рис.182). Проведём плоскость, перпендикулярную их линии пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называют углом между данными плоскостями [10, с. 52].

Свойства некоторых углов

Теорема о трёх косинусах.

Пусть α – угол между наклонной l и её проекцией на плоскость τ,

β – угол между проекцией наклонной l на плоскость τ и прямой р,

проведённой через основание наклонной l в плоскости τ,

γ – угол между наклонной l и прямой р (рис. 183).

Тогда справедливо следующее равенство:

 

 

 

cos γ = cos α ∙cos β.

 

Теорема о биссектрисе угла.

Для того, чтобы проекция прямой, проведённой через вершину угла, меньшего 180°, вне его плоскости являлась биссектрисой данного угла необходимо и достаточно, чтобы эта прямая составляла со сторонами угла равные острые углы.

Теорема о трёх синусах.

В одной из граней двугранного угла, величина которого равна α, проведена прямая l, составляющая с ребром двугранного угла угол β (0<β<90°), а с другой его гранью угол γ (рис 185). Тогда справедливо следующее равенство:

 

sin γ = sin α ∙ sin β.

 

Теорема косинусов для трёхгранного угла

Пусть α, β, γ – плоские углы трёхгранного угла, а φ – двугранный угол, противолежащий плоскому углу γ. Тогда справедливо следующее равенство

.

Доказательства утверждений теоретической карты №3

Теорема о трёх косинусах

Дано:

АВ – наклонная к плоскости τ,

ВО – её проекция;

р – прямая: р Ì τ, ВÎ р;

α – угол между наклонной АВ

и её проекцией на плоскость τ,

β – угол между проекцией

наклонной АВ и прямой р,

γ – угол между наклонной АВ

и прямой р

Доказать: cos γ = cos α ∙cos β.

Доказательство.

1. Проведём ОК ^ р, АК.

2. Пусть АВ= х.

3. DАОВ - прямоугольный: ОВ=

4. DВОК - прямоугольный: ВК=ОВ×cos β, учитывая (3), ВК=

5. DАВК- прямоугольный: ВК= х ×cosγ.

6. Из (4) и (5): х ×cosγ = , cosγ = .

Теорема о биссектрисе угла.

Необходимость.

Дано: ÐАВС (ÐАВС<180°),

BD - прямая, проведённая через

вершину угла вне его плоскости,

ВО - её проекция на плоскость угла.

ВО - биссектриса ÐАВС.

Доказать: Ð1 = Ð2.

 

 

Доказательство

Первый способ.

1.Проведём ОМ^ВС, ОР^АВ.

Соединим точки D и M, D и P.

2. DОВМ=DОВР по гипотенузе и

острому углу: ОВ – общая, ÐРВО=ÐМВО

(ОВ – биссектриса).

Следовательно, ВМ=ВР.

3. DDВМ и DDВР – прямоугольные (по

теореме о трёх перпендикулярах)

DDВМ=DDВР катету и гипотенузе:

ВD – общая, ВМ=ВР (2).

Следовательно, .

Второй способ.

Воспользуемся теоремой о трёх косинусах.

1) Для наклонной DB, её проекции ОВ и прямой ВС:

.

2)Для наклонной DB, её проекции ОВ и прямой ВА:

.

Так как ОВ – биссектриса угла РВМ, то ÐОВМ=ÐОВР, следовательно, равны и косинусы этих углов, то есть cosÐ1=cosÐ2 и, следовательно, Ð1=Ð2.

Достаточность (обратное утверждение) доказывается аналогично.

 

Теорема о трёх синусах

Дано: двугранный угол,

ÐАКО – линейный угол двугранного

угла (АО^τ_2, ОК^КВ, АК), ÐАКО= α;

АВ – прямая: АВÌ τ₁, ÐАВК=β,

ÐАBО – угол, который составляет АВ

с гранью τ₂, ÐАВО=γ;

Доказать: sin γ = sin α ∙ sin β

Доказательство

1. Пусть АВ= х.

2. DАВК – прямоугольный, АК= .

3. DАОК – прямоугольный, АО= , учитывая (2) АО= .

4. DАОВ – прямоугольный, АО= x sinγ

5. Из (3) и (4) x sinγ= ,sinγ= .