Графики (номограммы) для решения задач нестационарной теплопроводности.

, (9.10)

где – безразмерная координата;

– число подобия Фурье (безразмерное время).

Решения (9.10) представлены в виде простых и удобных номограмм, которые могут быть двух видов. Номограммы построены для двух случаев:

– центр пластины

– поверхность пластины

Зависимость (9.10) справедлива также для цилиндра и шара.

Для решения прямой задачи определения температуры в центре либо на поверхности пластины через какой-то момент времени после её охлаждения в среде с , при заданных размерах , материале пластины l, и a находится . Поднимаем до пересечения с нужным Bi и находим относительную избыточную температуру, тогда абсолютная температура в центре будет равна:

.

В любом сечении температура находится с помощью решения (9.9).

Теплоотдача при турбулентном течении жидкости в трубах

Турбулентный режим-при Re>10000

Коэффициент теплоотдачи рассчитывается по формуле Михеева:

,(14.7)

0.7<Pr<200

4*10³<Re_f<10⁶

где – поправка на начальн участок гидродинамич-ой стабилизации. При x/d < 15 она может быть найдена по формуле

.Если x/d > 15 =1

Петуховым получена формула из гидродинамической аналогии Рейнольдса для расчета коэффициента теплоотдачи капельной жидкости(не газов):

 

,

n= 0,11(нагрев)

n=0,25(охлажд)

Переходный режим.

Переходный режим существует при . Он является неустойчивым, поэтому плохо изучен, для него нет критериальных зависимостей. Для расчёта этого режима используется формула Михеева (14.7) с введением поправки.

Ref
en	0,4	0,57	0,72	0,91

 

Формула Михеева с точностью ±15% описывает теплообмен очень многих жидкостей. По этой формуле (14.7) рассчитывается теплообмен при движении жидкости внутри труб кожухотрубных теплообменников. 58)Частные случаи охлаждения (нагрева) неограниченной пластины

Анализ решения дифференциального уравнения одномерной теплопроводности записанного для неограниченной пластины (9.9) в виде бесконечного, быстросходящегося ряда предполагает три характерных случая:

2) (). В этом случае с достаточной точностью можно ограничится первым членом ряда, и распределение температуры в неограниченной пластине будет иметь вид:

Так как распределение температуры в теле определяется как внутренним термическим сопротивлением, так и внешним, то для инженерных расчётов при в уравнении (9.9) можно ограничится первым членом ряда, так как термическое сопротивление , то температура на поверхности пластины становится равной температуре окружающей среды, т.е. .

2) (). Процесс выравнивания температуры в теле происходит значительно быстрее, чем отвод теплоты с поверхности пластины. Распределение температуры в этом случае показано на рисунке (9.7).

3) (Реальный случай).

Каждому значению числа Bi отвечает своя совокупность корней уравнения (9.9).

Расход теплоты каждым м³ охлаждаемой пластины за время от до определяется по формуле:

,

где С – теплоёмкость материала пластины;

r – плотность пластины;

J₀ – начальная избыточная температура;

`J – средняя избыточная температура по толщине пластины в момент t₁.

 

 

59)Гидродинамические числа подобия

Найдём условия подобия двух потоков несжимаемой жидкости, которые описываются уравнением движения Навье-Стокса. Рассмотрим только уравнение движения для проекции скорости на ось Х:

(13.1)

Аналогично запишем для второй подобной системы (13.2) (всё с двумя штрихами). Вводим постоянные подобия (константы):

; ; ; ;

; ; .

Выражаем уравнение движения Навье-Стокса для второй подобной системы через первую с учётом постоянных подобия

(13.3)

.

Из (13.3) выделим пять комплексов подобия:

(I) (II) (III) (IV) (V)

.

Для получения числа подобия разделим второй комплекс на первый: .

Комплексы, составлены из констант подобия, когда справа или слева стоит 1, получили название индикатора подобия, заменяя в индикаторе подобия безразмерные константы подобия , , на размерные величины w, t, , получаем число подобия гомохронности или Струхаля: , (13.4)

где Но выражает меру переносного или конвективного ускорения к ускорению в данной точке.

Разделив II на III получаем число подобия Фруда:

, (13.5)

где Fr характеризует отношение инерционной силы в потоке к силе тяжести.

Разделив IV на II, мы получаем число подобия Эйлера:

, (13.6)

где Eu отношение перепада давления в потоке жидкости к динамическому давлению потока.

Разделив II на V, получаем основное число гидромеханического подобия Рейнольдса Re:

, (13.7)

где Re характеризует режим движения потока, и представляет собой меру отношения сил инерции к силам вязкости.

Архимед, Галилей и Грасгоф являются производными числами подобия.

 

60 нужны особенности течения жид-ти, но --- Теплоотдача в ламинарном пограничном слое при продольном омывании пластины.

Теория гидродинамического пограничного слоя дана Прандтлем в 1904 году. Сущность теории пограничного слоя состоит в упрощении дифференциального уравнения конвективного теплообмена применительно к пограничному слою.

Прандтлем была решена задача при продольном обтекании плоской пластины движущимся потоком жидкости при длине пластины l и ширине, равной единице.

Теория Прандтля справедлива только для неразряженных газов и для кипящих жидкостей ( где – длина свободного пробега молекулы, – характерный размер (длина пластины)).

1 – пограничный слой (динамический – (а) и тепловой – (б));

2 – невозмущённый поток жидкости;

I – зона ламинарного режима течения;

II – зона переходного режима течения;

III – зона турбулентного режима течения;

IV – зона вязкого ламинарного подслоя.

При соприкосновении частиц жидкости с поверхностью тела они «прилипают» к ней. В результате в области около пластины вследствие действия сил вязкости возникает тонкий слой заторможенной жидкости, в пределах которого скорость изменяется от нуля на поверхности тела до скорости невозмущённого потока.

Ламинарным называется такое движение, при котором возможно существование стационарных траекторий частиц жидкости.

Турбулентным называется движение жидкости с хаотично изменяющимися во времени траекториями частиц жидкости, при котором в потоке возникают нерегулярные пульсации скорости, давления, плотности, неравномерно распределённых в потоке.

Толщина гидродинамического пограничного слоя определяется как расстояние по нормали от пластины, на которой продольная составляющая скорости достигает своего максимального значения, равного скорости невозмущённого потока . Ввиду малой толщины пограничного слоя () удаётся упростить дифференциальное уравнение движения Навье-Стокса.

Принимаем, что поперёк динамического пограничного слоя давление не изменяется, т.е. . Во внешнем потоке (2) из уравнения Бернулли следует, что давление также не изменяется: .

Для плоского безградиентного стационарного течения вязкой жидкости в пограничном слое у плоской поверхности уравнение движения Навье-Стокса (11.12) упрощается до вида (в проекции на ось ОХ):

, (12.1)

.

Уравнение сплошности имеет вид:

. (12.2)

Из четырёх неизвестных () остались две переменные и , что значительно упрощает решение дифференциальных уравнений (12.1) и (12.2).

Аналогично понятию гидродинамического пограничного слоя Кружилиным Г.Н. было введено понятие теплового пограничного слоя. Толщина теплового пограничного слоя определяется как расстояние по нормали к поверхности, на котором температура изменяется от до . Внутри теплового пограничного слоя , а на внешней его границе .

Изменение температуры происходит в очень маленькой пространственной области (), следовательно, можно пренебречь теплопроводностью вдоль слоя по сравнению с теплопроводностью поперёк слоя, т.е. , т.к. .

Для стационарного течения уравнение энергии (11.18) упрощается до: . (12.3)

Полученная система дифференциальных уравнений (12.1), (12.2) и (12.3) описывает конвективный теплообмен только в ламинарном пограничном слое.

Прандтль впервые выполнил приближённое решение этой системы дифференциальных уравнений, а точнее уравнение движения (12.1) методом интегральных соотношений Кáрмана для ламинарного пограничного слоя при продольном обтекании плоской пластины и получил, что толщина динамического пограничного слоя определяется из выражения , (12.4)

,

где Re_x – локальное значение числа Рейнольдса, которое характеризует соотношение сил инерции и сил вязкости (n) в сечении х;

х – расстояние от передней коронки пластины, м.

В пограничном слое силы вязкости и инерционные силы соизмеримы, в невозмущённом потоке преобладают силы инерции.

Введя понятие локального коэффициента трения в следующей форме , (12.6)

где t_w(x) – касательное напряжение на пластине на расстоянии х от передней кромки,

Прандтлем было получено приближенное решение для С_t:

. (12.7)

Приближённое решение дифференциального уравнения энергии (12.3) при числе Прандтля (для газов , для жидких металлов , для капельных жидкостей , для масел ), было получено, что отношение толщины теплового пограничного слоя к толщине динамического пограничного слоя при его ламинарном движении: . (12.10)

где – физический параметр.

При толщина теплового слоя равна толщине динамического пограничного слоя. При , происходит нагревание жидкости от пластины. При , происходит охлаждение жидкости от пластины.

Учитывая (12.4) мы получаем толщину

. (12.11)

Значение числа Pr берётся из справочной таблицы. Для газов .

Связь между локальным коэффициентом теплопередачи a_х на расстоянии х (м) от передней кромки пластины и локальным коэффициентом трения определяется на основе аналогии Рейнольдса, переноса теплоты и количества движения.

При : , (12.12)

(St – число Стантона – аналогия переноса теплоты

и количества движения при Pr = 1)

– аналогия Рейнольдса. (12.13)

Коэффициент теплоотдачи a обратно пропорционален толщине пограничного слоя (с ростом расстояния х d_т увеличивается, а a уменьшается). Формула (12.13) хорошо описывает теплопередачу газов при небольших температурных напорах.

Для приведения выражения (12.14) к безразмерному виду, умножим его части на . Получим критериальное уравнение для расчёта местного (локального) коэффициента теплоотдачи, при продольном обтекании пластины ламинарным потоком жидкости (с учётом (12.11)).

Найдя число Нуссельта можно определить локальный коэффициент теплоотдачи: .

. (12.15)

Для газов .

Формула (12.15) справедлива при , . Pr_f берётся из таблиц при температуре жидкости, Pr_w берётся из таблиц при температуре стенки.

Средний коэффициент теплоотдачи при ламинарном течении при продольном обтекании плоской пластины определяется из следующего уравнения (учитывая St = C_t / 2) .

 

 

,

 

(12.16)