Дифференциальное уравнение теплопроводности

 

Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает зависимость температуры от времени и текущих координат рассматриваемой точки. Для вывода этой зависимости выделим в температурном поле элемент в виде параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz (рис. 8.8).

Тепловой поток, входящий в выделенный элемент через поверхность dxdy в направлении оси z, согласно уравнению Фурье, будет равен dxdy. Тепловой поток на выходе элемента: dQ_z+∆z = = –λ(∂t/∂z)dzdxdy – λ(∂²t/∂z²)dzdxdy. Разность тепловых потоков в направлении оси z:

. (8.18)

Рис. 8.8. К выводу дифференциального уравнения

теплопроводности

 

Аналогично получают величину приращения теплового потока вдоль осей х и у:

; (8.19)

. (8.20)

Просуммировав уравнения (8.18)–(8.20), получим изменение теплового потока в выделенном элементе:

(8.21)

где dν = dxdyz – объем выделенного элемента; ∆ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + + ∂²/∂z² – оператор Лапласа.

Теплота в элементе идет на изменение внутренней энергии:

du = cρ(∂t/∂τ)dν, (8.22)

где с – теплоемкость; r – плотность; ∂t/∂τ – производная температуры по времени.

Приравняв правые части уравнений (8.21) и (8.22), получим

∂t/∂τ = а (∂²t/∂x² + ∂²t/∂y² + ∂²t/∂z²), (8.23)

где а – коэффициент температуропроводности, м²/с.

При стационарном (установившемся) процессе теплопроводности ∂t/∂τ = 0уравнение (8.23) принимает вид: ∂²t/∂x² + ∂²t/∂y² + ∂²t/∂z² = 0.

Решение уравнения (8.23) зависит от начальных и граничных условий, которые определяют однозначность решения задачи.

Дифференциальное уравнение конвективного теплообмена

 

В случае конвективного теплообмена производная по времени зависит также от скорости движения теплоносителя. В общем случае скорость движения изменяется в трех направлениях – х, у, z, поэтому уравнение конвективного теплообмена имеет вид [6]:

= . (8.24)

В уравнении (8.24): u – проекция скорости на ось х; v – проекция скорости на ось у; w – проекция скорости на ось z.

Для упрощения обычно вводят обозначение D/Dτ = ∂t/∂τ + u∂/∂x + + ν∂/∂x + w∂/∂x, с учетом которого уравнение (8.24) можно записать следующим образом:

Dt/Dτ = a∆t. (8.25)

Оператор Dt/Dτ – субстанциональная производная.

Система, состоящая только из одного уравнения и четырех неизвестных (t, u, v, w), незамкнута. Чтобы ее замкнуть, используют уравнения Навье – Стокса и неразрывности.

Система, состоящая из уравнения (8.24), уравнений Навье – Стокса и неразрывности является замкнутой, но ее решение для получения коэффициента a представляет весьма сложную задачу, так как входящие в нее уравнения являются нелинейными, многомерными, содержат значительное количество физических параметров. Поэтому для определения коэффициента теплоотдачи a используют эмпирический подход, при этом при планировании и обработке экспериментов используется теория подобия, что позволяет уменьшить количество переменных путем объединения исходных параметров в критерии (числа) подобия. Критерии подобия безразмерные, имеют определенный физический смысл, обозначаются как числа П (Пи) (wτ/l = = П₁, RI/U = П₂, ma/F = П₃ и т.д.) или первыми буквами фамилий ученых, внесших существенный вклад в изучение процессов теплопереноса и гидродинамики. Критерии подобия устанавливаются различными способами: преобразованием уравнений, описывающих данный процесс, к безразмерному виду; путем анализа размерностей; при помощи масштабных преобразований.

Если в критерий не входят искомые величины, он называется определяющим. Критерий, в который входят искомые величины, называется неопределяющим.

Основные критерии подобия, используемые

В теплотехнике

 

В теплотехнических расчетах наибольшее использование получили следующие критерии подобия:

Критерий Нуссельта:

Nu = αℓ/λ (8.26)

представляет собой отношение между потоком теплоты от жидкости к поверхности тела и потоком теплоты теплопроводностью в теплоносителе у стенки. Критерий содержит коэффициент теплоотдачи a. При известном числе Nuкоэффициент теплоотдачи a определяется по формуле

α = Nu λ/ℓ. (8.27)

Критерий Рейнольдса:

Re = uℓ/ν. (8.28)

При течении жидкости в трубах ламинарный режим на стабилизированном участке наблюдается до , а при Re > 10⁴ устанавливается развитый турбулентный режим (здесь l – внутренний диаметр трубы).

Критерий Пекле:

Pe = uℓ/a (8.29)

характеризует отношение между потоком теплоты, переносимой движущимся теплоносителем (конвективным), и потоком теплоты теплопроводностью при одинаковом температурном напоре.

Критерий Прандтля равен отношению критерия Пекле к критерию Рейнольдса, т.е.

Pr = Pe/Re = ν/a. (8.30)

Критерий характеризует соотношение между силами вязкости и конвективным потоком теплоты. Для одноатомных газов численное значение критерия равно 0,67, для двухатомных 1. Для капельных жидкостей значение критерия находится в пределах 1–2500, для жидких металлов предел изменения Прандтля 0,005–0,05.

Значение числа Pr приводится в справочниках.

Критерий Грасгофа: Критерий Грасгофа определяется по формуле

Gr = β_pgℓ³∆t/ν², (8.31)

где βp = (1/ν₀)(∂ν/∂T)_p – коэффициент объемного расширения, К^–1; для идеального газа β_р = 1/Т; – разность температур в двух точках (потока и стенки), К.

Критерий Грасгофа характеризует гидродинамическое подобие при свободном движении теплоносителя. Он представляет отношение подъемной силы к силе вязкости. Чем выше критерий Грасгофа, тем более интенсивно свободное движение.

Критерий Био:

Bi = αℓ/λст,(8.32)

где ℓ – характерный размер тела, м; λст – коэффициент теплопроводности твердого тела, Вт/(м·К).

Критерий характеризует связь между полем температур в твердом теле и условиями теплоотдачи на его поверхности.

Коэффициент теплоотдачи a определяют из экспериментально полученных критериальных уравнений следующего вида:

Nu = aRe^βPr^γ(Pr/Pr_c)^θ(GrPr)^μ. (8.33)

Численные значения коэффициентов a, b, g, θ, mможно определять по рекомендациям, изложенным в литературе [1, 2, 3, 4, 5].

Свободное движение теплоносителя

Свободное движение теплоносителя осуществляется под действием силы тяжести, вызванной разностью плотностей нагретых и более холодных слоев. Такое движение наблюдается, например, в системах охлаждения пусковых двигателей, при естественной вентиляции воздуха в помещении. В случае свободного движения теплоносителя в большом объеме расчет числа Нуссельта ведут по критериальному уравнению [5]:

Nu = C(Gr · Pr)^μ · ε. (8.34)

В этом уравнении коэффициенты С, e, μ (табл. 8.1) зависят от условий теплоотдачи. Определяющей температурой произведения критериев Gr · Pr является средняя температура теплоносителя в объеме и у стенки: t = 0,5(t_c + t_ж).

Таблица 8.1

Численные значения коэффициентов С, e и μ

Условия теплоотдачи	С	μ	e	Определяющий размер
Вертикальная пластина и труба r = 10^3–10^9 r => 10^9	0,8 0,15	0,25 0,33	[1 + (1 + 1/ )^2]	Длина трубы, пластины
Горизонтальная труба 10^–3£ r £ 10^3 10^3£ r £ 10^8	0,18 0,5	0,125 0,25		Диаметр трубы
Горизонтальная пластина при ламинарном режиме течения: охлаждение сверху охлаждение снижу	0,54 0,27	0,25 0,25		Короткая сторона пластины

 

Теплоотдача при кипении и конденсации

Расчет теплоотдачи при кипении используется при расчете производства пара в котельных установках. Интенсивность теплоотдачи зависит от режима кипения. Различают два режима кипения – пузырьковый и пленочный. Пузырьковый режим кипения наблюдается в начале процесса кипения, при этом подводимая теплота от стенки с температурой t_ст передается примыкающему к ней слою жидкости, в котором температура равна также t_ст. Температура жидкости изменяется по толщине слоя. Максимальный градиент температур наблюдается в слое жидкости толщиной 3–5 мм, непосредственно примыкающему к поверхности нагрева, а затем изменение температуры незначительно. Разность ∆t = t_ст – t_ж называется температурным напором. Центры парообразования зарождаются непосредственно на обогреваемой стенке. При подводе теплоты размеры пузырьков увеличиваются. При определенном соотношении сил поверхностного натяжения и силы тяжести происходит их отрыв от нагреваемой поверхности. К образующимся пузырькам пара теплота подводится от жидкости. Движение пузырьков пара приводит к турбулизации и перемешиванию жидкости и интенсификации теплообмена. При дальнейшем подводе теплоты достигается критический напор ∆t = t_ст – t_ж и наступает пленочный режим кипения, при котором пузырьки пара сливаются в сплошную паровую пленку, которая имеет малый коэффициент теплопроводности, и интенсивность теплоотдачи резко падает. Численные значения q, Dt и a, при которых жидкость переходит от пузырькового кипения в пленочный, зависит от рода жидкости, интенсивности перемешивания и других факторов.

Для определения коэффициента теплоотдачи можно использовать критериальную зависимость [5]:

Nu = CReⁿPr_ж^0,33. (8.35)

Численные значения постоянных С и n в случае кипения неметаллических жидкостей равны:

при Re £ 0,01 C = 0,0625, n = 0,5

при Re > 0,01 С = 0,125, n = 0,65.

Определяющий размер вычисляется по формуле

ℓ = R_кр · (c_p∆t/r) · (ρ_ж/ρ_п), (8.36)

где R_кр – критический радиус пузырька; c_p∆t – энтальпия перегретой жидкости; r – теплота парообразования; ρ_ж, ρ_п – плотность жидкой и паровой фаз соответственно.

Процесс конденсации пара происходит при охлаждении пара до температуры ниже температуры насыщения при данном давлении. Выделяющееся при этом тепло равно теплоте парообразования. Различают капельную и пленочную конденсацию.

Для определения коэффициента теплоотдачи при пленочной конденсации для ламинарного движения можно использовать следующие критериальные уравнения [8]:

– для вертикально расположенных труб и стенок:

Nu = 0,42K₀^0,28(P_rн/P_rст)^0,25; (8.37)

– для горизонтально расположенных труб:

Nu = 0,72(K₀P_rн/P_rст)^0,25. (8.38)

В формулах (8.37) и (8.38) К₀ = Ga · Кn · Pr_н – критерий конденсации; Ga = gℓ³/ν_н² – критерий Галилея и критерий Кn = r/(c_ж · ∆t);
ℓ – определяющий размер, равный для вертикальных поверхностей высоте h, а для горизонтальных труб – их диаметру d; c_ж – теплоемкость жидкости; ∆t = t_н – t_ст – температурный напор; t_н – температура насыщения; νн – коэффициент кинематической вязкости жидкости.

 

 

Массообмен

В сельскохозяйственном производстве значительное применение получили массообменные процессы: фильтрация влаги в почве, сушка материалов, кондиционирование воздуха. Перенос энергии и вещества осуществляется материальными носителями.

Если в изолированной системе содержатся компоненты с неоднородным распределением концентраций, то в ней возникает перенос массы компонентов смеси, стремящейся к установлению равновесного (равномерного) поля концентраций. Перенос массы, также как и перенос теплоты, характеризуется понятиями: «поле», «поток», «сопротивление» и т.д.

Перенос вещества в смеси, обусловленный тепловым хаотическим движением микрочастиц вещества (молекул, ионов, атомов), называется молекулярной диффузией. Молекулярная диффузия вследствие неоднородного распределения концентраций в смеси называется концентрационной диффузией.

При перемещении, т.е. конвекции, масса компонента переносится макроскопическими элементами смеси. Перенос массы за счет совместного действия молекулярной диффузии и конвективного переноса вещества называется конвективным массообменом. Конвективный массообмен между жидкой (твердой) поверхностью и окружающей средой называется массоотдачей. Плотность потока массы при концентрационной диффузии определяют уравнением, аналогичным уравнению Ньютона – Рихмана:

Ji = ρ · β_M · (c_iп – c_i0), (8.39)

где b_М – коэффициент массоотдачи, отнесенный к разности концентраций диффундирующего вещества, м/с;

с_iп и с_io – концентрации вещества на поверхности массоотдачи и в окружающей среде.

Поток массы от поверхности площадью F определяют по формуле

Ji = F · ρ · β_M · (c_iп – c_i0). (8.40)