Уравнение первого закона термодинамики

Если к 1 кг рабочего тела в цилиндре с подвижным поршнем подвести малое количество тепла δq, это приведет к увеличению внутренней энергии системы и совершению работы расширения. Математически для бесконечно малого изменения состояния газа это можно записать следующим образом:

δq = du + δl, m = 1 кг; (2.5)

δQ = dU + δL, m ¹1 кг; (2.6)

для конечного изменения состояния газа:

q = ∆u + l, m = 1 кг;(2.7)

Q = ∆U + L, m ¹ 1 кг. (2.8)

Анализ уравнений (2.5)–(2.8) показывает, что работа в термодинамической системе может совершаться или за счет изменения внутренней энергии, или за счет подвода к системе теплоты.

В случае замкнутого кругового процесса ∆u = 0. Все подведенное тепло идет на совершение работы.

Теплоемкость рабочего тела

Отношение количества теплоты, подведенной или отведенной при бесконечно малом изменении системы, к соответствующему изменению температуры называется истинной теплоемкостью С (Дж/К):

С = δq/dT. (2.9)

Отношение истинной теплоемкости к массе рабочего тела, равной 1 кг, называется удельной массовой теплоемкостью с (Дж/(кг·К)):

с = С/m. (2.10)

Теплоемкость, отнесенная к молю рабочего тела, называется молярной, обозначается c_μ (Дж/(моль·К)):

с_μ = μ · с. (2.11)

Теплоемкость, отнесенная к количеству рабочего тела, содержащемуся в 1 м³ при нормальных физических условиях, называется удельной объемной теплоемкостью. Обозначается с׳ (Дж/(м³·К)):

с' = μс/22,4 = с · ρ, (2.12)

где r – плотность рабочего тела, кг/м³.

Теплоемкость зависит от процесса, так, для адиабатного процесса при δQ = 0 теплоемкость с = 0; в изотермическом процессе dT = 0 и теплоемкость с = ¥.

В практических расчетах важнейшее значение имеют теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении, которые обозначаются как c_ν и c_p соответственно.

Между c_ν и c_p установлена связь следующего вида:

c_p = c_ν + R, (2.13)

μc_p = μc_ν + R_μ. (2.14)

Из уравнений (2.2) и (2.5) при ν = const:

du = c_νdt. (2.15)

Формула (2.15) справедлива для любого процесса, так как внутренняя энергия является функцией состояния.

Отношение теплоемкостей обозначают символом к:

к = с_р/с_ν (2.16)

и называют показателем адиабаты. Для одноатомных газов к = 1,66, двухатомных к = 1,4, трехатомных и многоатомных к = 1,29.

Экспериментальные исследования показывают, что теплоемкость одноатомных газов практически не зависит от температуры, а теплоемкость двухатомных и трехатомных газов существенно зависит от температуры.

Предложены различные математические модели, которые с приемлемой для инженерной практики точностью описывают изменение теплоемкости газов от температуры.

Для двухатомных газов модель представляют в виде

с = аt + b. (2.17)

Для трехатомных газов, например углекислого газа СО₂, эта модель имеет вид с = at² + bt + d, где a, b и d – коэффициенты, численные значения которых приведены в справочной литературе.

При больших интервалах изменения температуры в расчетах используют среднее значение температуры в заданном диапазоне. Для определения среднего значения температур в диапазоне от t₁ до t₂ используют формулу

, (2.18)

где c_m1 – среднее значение теплоемкости в диапазоне от 0 до t₁; c_m2 – среднее значение теплоемкости в диапазоне от 0 до t₂.

Если смесь газов задана массовыми долями, теплоемкость смеси определяется по формуле

. (2.19)

Если заданы объемные доли газов и объемные теплоемкости отдельных газов, то объемная теплоемкость смеси определяется по формуле

. (2.20)

Энтальпия

 

Энтальпия является важнейшей термодинамической функцией. Ее обозначают hдля одного килограмма рабочего тела и Hдля массыm рабочего тела. Размерность h – Дж/кг и H – Дж. Энтальпию определяют по формуле

H = U + pV для массы m ≠ 1 кг (2.21)

и по формуле

h = u + pν при m = 1 кг. (2.22)

Энтальпия зависит от функции состояния – внутренней энергии и термических параметров состояния р и ν. Энтальпия является функцией состояния.

При проведении теплотехнических расчетов используют не абсолютное значение энтальпии, а разность энтальпий в конечных точках процесса. Продифференцируем уравнение (2.22), получим

dh = du + pdν + νdp. (2.23)

Учитывая (2.5), получим

. (2.24)

Уравнение (2.24) представляет вторую форму записи первого закона термодинамики. Для изобарического процесса выражение (2.24) примет вид

dq = dh. (2.25)

После интегрирования (2.25) получим

q = h₂ – h₁. (2.26)

Из уравнения (2.25) следует

dh = c_pdT. (2.27)

Уравнение (2.27) справедливо и для любого другого процесса, т.к. энтальпия системы является функцией состояния и ее изменение не зависит от процесса. Энтальпию при 0ºС принимают равной нулю.

Энтропия

 

Теплота не является функцией состояния. Если умножить изменение теплоты на величину 1/T, получим изменение некоторой функции:

ds = δq/T, (2.28)

которую Клаузиус назвал энтропией. Единицей измерения энтропии, отнесенной к 1 кг газа, является Дж/(кг·К), а для массы газа, не равной одному килограмму, – Дж/К. Запишем формулу (2.28) с учетом формулы (2.5):

ds = (du + pdν)/T = c_νdT/T + Rdν/ν. (2.29)

После интегрирования формулы (2.29) получим

s₂ – s₁ = c_νln(T₂/T₁) + Rln(ν₂/ν₁). (2.30)

Аналогично можно проинтегрировать уравнение (2.28), если воспользоваться для изменения теплоты уравнением (2.24). В результате получим

. (2.31)

Из формул (2.30) и (2.31) следует, что изменение энтропии зависит только от начальных и конечных значений параметров. При нормальных условиях энтропия идеального газа принимается равной 0.

Примеры решения задач

Задача 1. Определить внутреннюю энергию 5 кмоль идеального одноатомного газа при абсолютной температуре, равной 873 К.

Решение. Идеальный одноатомный газ имеет три поступательных скорости движения, и формула для определения внутренней энергии имеет вид u = 3RT/2. Газовая постоянная идеального газа равна 8,314 кДж/(кмоль·К). Следовательно, внутренняя энергия будет равна u = 5 · 8,314 · 873 · 3/2 = 54436 Дж.

Задача 2. Чему равна работа процесса, если изменение внутренней энергии 3 кг рабочего тела при подводе теплоты в количестве 100 кДж составило 75 кДж?

Решение. Для определения работы процесса воспользуемся зависимостью Q = ∆U + L. Из этой формулы следует L = Q – ∆U. После подстановки численных значений входящих в последнюю формулу величин получим L = 100 – 75 кДж.

Задача 3. Чему равна энтропия 5 кг воздуха при избыточном давлении р = 19,62 × 10⁴ Па и температуре 1000°С. Принять теплоемкость С_р = const при температуре 1000°С.

Решение. По формуле (2.31) изменение энтропии равно s₂ – s₁ = = c_pln(T₂/T₁) – Rln(p₂/p₁). Газовая постоянная воздуха R = = 0,287 кДж/(кг·К). По термодинамическим таблицам при температуре 1000°С определяем теплоемкость воздуха с_р = 1,185 кДж/(кг·К). Определяем абсолютное давление р = 19,62 · 10⁴ + 9,81 · 10⁴ = 29,43 · 10⁴ Па. Известно, что при температуре 0ºС энтропия принимается равной 0. Таким образом, после подстановки численных значений величин, входящих в формулу (2.30), будем иметь s₂ – s₁ = 1,185ln(1273/273) – – 0,287ln(29,43 · 10⁴/9,81 · 10⁴) = 1,62 кДж/(кг·К).

Для пяти килограммов энтропия будет равна s = 1,62 · 5 = = 8,1 кДж/кг.