ТОП 10:

Стационарный временной ряд. Белый шум.



Временной ряд называется стационарным (в широком смысле) если его ожидаемое значение и дисперсия постоянны (не зависят от переменной времени t), а автоковариационная и автокор функция является четной функцией одного аргумента τ=i-j

E(yt)=my(t), Var(yt)=

(ковариация зависит только от расстояния между уровнями)

Временной ряд явл нестационарным, если не соблюдено хотя бы одно из этих условий.

Требование стационарности: неизменность функции регрессии во времени, гомоскедастичность случ остатка.

Спецификация общей модели стационарного ряда:

Белый шум

Белый шум – простейший стац временной ряд со след спецификацией:


 

Оценка характеристик стационарного временного ряда.

Ряд именуется стационарным (в сильном смысле), если закон распределения вектора сечений этого ряда оказывается инвариантным относительно сдвига по времени этих сечений на любую величину .

Ряд именуется стационарным (в слабом смысле), если его ожидаемое значение и дисперсия постоянны (не зависят от переменной времени t), а автоковариационная и автокорреляционная функции являются четными функциями одного аргумента (расстояние между сечениями ряда):

1)

2)

3)

4)

Ряд именуется нестационарным, если хотя бы одно условие 1-4 не выполняется.

 

Рассмотрим основные характеристики временного ряда:

1) Математической ожидание ряда

некоторая детерминированная функция времени t. Для (1) математическим ожиданием является сумма тренда и сезонной составляющей.

2) Дисперсия временного ряда

3) Автоковариационная функция ряда

– функция двух аргументов при перестановке которых значения функций не меняются.

4) Автокорреляционная функция ряда

Оценки этих характеристик могут быть найдены по одной реализации этого ряда

1) Оценка математического ожидания:

2) Оценка дисперсии:

3) Оценка автоковариационной функции:

4) Оценка автокорреляционной функции:


Частная автокорреляционная функция стационарного временного ряда и алгоритм её оценивания.

Рассмотрим уровни ряда ut на отрезке [t;t+ τ] (ut, ut+1 , … , ut+ τ -1, ut+ τ)

Удалим(при помощи уравнения регрессии) влияние членов ut, … , ut+ τ-1 из уровней ut и ut+ τ. После этого рассмотрим ковариацию остатков ut и ut+ τ. Это и будет частная автокорреляционная функция в точке τ.

Ϭuu(p)(τ)= (2.10)

На основании 2.10 дается определение частной автокорреляционной функции стационарного ряда

ρuu(p)(τ)=

Частная автокорреляционная функция белого шума имеет уравнение

ρξξ(p)(τ)= ρξξ(τ)=

Можно обосновать следующий алгоритм оценивания частной автокорреляционной функции ряда по его реализации :

Оценить МНК параметры модели

1.

2. Принять

оценкой ρuu(p)(τ) оценку βτ.

Модель AR(p) и её идентификация.

Начнем с простейшего и наиболее полезного для практики частного случая авторегрессии первого порядка

Непосредственно проверяется, что матожидание уровней ut=0 при любых t.

Требование постоянной дисперсии приводит к следующему уровню, которому должны удовлетворять параметры модели.

ρ должен быть <1. Непосредственно проверяется, что ρ имеет смысл коэффициента корреляции уровней ряда в соседние моменты времени. Также показывается, что автокорреляционная функция зависит только от расстояния между сечениями по правилу

ρuu(i,j)=ρ|i-j|τ

Рассмотрев это правило констатируем, что корреляции сечений ряда снижаются по экспоненте расстояния τ между уровнями ряда. При ρ=0 ряд превращается в WN. Если ρ=1, то ряд становится нестационарным рядом, называющимся случайным блужданием.

Справедлива теорема:

Если utϵAR(1), то

ρuu(p)(τ)= финитная функция.

Модель задается рекурсивным уравнением ut1ut-1+ β2ut-2+…+ βput-pt

Коэффициенты удовлетворяют определенным ограничениям, чтобы ряд оказался стационарным.


Модель MA(q) и её идентификация.

Вначале рассмотри простейший случай

Теорема. Если utϵMA(1) то

1) utϵSTS

2) E(ut)=0, Ϭu2ξ2(1+γ2)

3) Ϭuu(τ)=

Автокорреляционная функция ряда MA(1) как инструмент идентификации.

ρuu(τ)=

Данная функция служит инструментом идентификации модели MA(1). Подчеркнем, что эта функция может быть оценена по правилу ρyy(τ)= . (над сигмами значки оценок).

Рекурсивное уравнение модели:

ut1ξt-1+ γ 2ξt-2+…+ γ pξt-pt

Теорема. Если utϵMA(q) то ρuu(τ)=0 при τ>q.







Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.233.215.231 (0.006 с.)