Стационарный временной ряд. Белый шум.

Временной ряд называется стационарным (в широком смысле) если его ожидаемое значение и дисперсия постоянны (не зависят от переменной времени t), а автоковариационная и автокор функция является четной функцией одного аргумента τ=i-j

E(yt)=my(t), Var(yt)=

(ковариация зависит только от расстояния между уровнями)

Временной ряд явл нестационарным, если не соблюдено хотя бы одно из этих условий.

Требование стационарности: неизменность функции регрессии во времени, гомоскедастичность случ остатка.

Спецификация общей модели стационарного ряда:

Белый шум

Белый шум – простейший стац временной ряд со след спецификацией:

 

Оценка характеристик стационарного временного ряда.

Ряд именуется стационарным (в сильном смысле), если закон распределения вектора сечений этого ряда оказывается инвариантным относительно сдвига по времени этих сечений на любую величину .

Ряд именуется стационарным (в слабом смысле), если его ожидаемое значение и дисперсия постоянны (не зависят от переменной времени t), а автоковариационная и автокорреляционная функции являются четными функциями одного аргумента (расстояние между сечениями ряда):

1)

2)

3)

4)

Ряд именуется нестационарным, если хотя бы одно условие 1-4 не выполняется.

 

Рассмотрим основные характеристики временного ряда:

1) Математической ожидание ряда

– некоторая детерминированная функция времени t. Для (1) математическим ожиданием является сумма тренда и сезонной составляющей.

2) Дисперсия временного ряда

3) Автоковариационная функция ряда

– функция двух аргументов при перестановке которых значения функций не меняются.

4) Автокорреляционная функция ряда

Оценки этих характеристик могут быть найдены по одной реализации этого ряда

1) Оценка математического ожидания:

2) Оценка дисперсии:

3) Оценка автоковариационной функции:

4) Оценка автокорреляционной функции:

Частная автокорреляционная функция стационарного временного ряда и алгоритм её оценивания.

Рассмотрим уровни ряда u_t на отрезке [t;t+ τ] (u_t, u_t+1, …, u_{t+ τ -1,} u_{t+ τ})

Удалим(при помощи уравнения регрессии) влияние членов u_t, …, u_{t+ τ-1} из уровней u_t и u_{t+ τ}. После этого рассмотрим ковариацию остатков u_t и u_{t+ τ}. Это и будет частная автокорреляционная функция в точке τ.

Ϭ_uu^(p)(τ)= (2.10)

На основании 2.10 дается определение частной автокорреляционной функции стационарного ряда

ρ_uu^(p)(τ)=

Частная автокорреляционная функция белого шума имеет уравнение

ρ_ξξ^(p)(τ)= ρ_ξξ(τ)=

Можно обосновать следующий алгоритм оценивания частной автокорреляционной функции ряда по его реализации:

Оценить МНК параметры модели

1.

2. Принять

оценкой ρ_uu^(p)(τ) оценку β_τ.

Модель AR(p) и её идентификация.

Начнем с простейшего и наиболее полезного для практики частного случая авторегрессии первого порядка

Непосредственно проверяется, что матожидание уровней u_t=0 при любых t.

Требование постоянной дисперсии приводит к следующему уровню, которому должны удовлетворять параметры модели.

ρ должен быть <1. Непосредственно проверяется, что ρ имеет смысл коэффициента корреляции уровней ряда в соседние моменты времени. Также показывается, что автокорреляционная функция зависит только от расстояния между сечениями по правилу

ρ_uu(i,j)=ρ^|i-j|=ρ^τ

Рассмотрев это правило констатируем, что корреляции сечений ряда снижаются по экспоненте расстояния τ между уровнями ряда. При ρ=0 ряд превращается в WN. Если ρ=1, то ряд становится нестационарным рядом, называющимся случайным блужданием.

Справедлива теорема:

Если u_tϵAR(1), то

ρ_uu^(p)(τ)= финитная функция.

Модель задается рекурсивным уравнением u_t=β₁u_t-1+ β₂u_t-2+…+ β_pu_t-p+ξ_t

Коэффициенты удовлетворяют определенным ограничениям, чтобы ряд оказался стационарным.

Модель MA(q) и её идентификация.

Вначале рассмотри простейший случай

Теорема. Если u_tϵMA(1) то

1) u_tϵSTS

2) E(u_t)=0, Ϭ_u²=Ϭ_ξ²(1+γ²)

3) Ϭ_uu(τ)=

Автокорреляционная функция ряда MA(1) как инструмент идентификации.

ρ_uu(τ)=

Данная функция служит инструментом идентификации модели MA(1). Подчеркнем, что эта функция может быть оценена по правилу ρ_yy(τ)= . (над сигмами значки оценок).

Рекурсивное уравнение модели:

u_t=γ₁ξ_t-1+ γ ₂ξ_t-2+…+ γ _pξ_t-p+ξ_t

Теорема. Если u_tϵMA(q) то ρ_uu(τ)=0 при τ>q.