Переменные в моделях и их типы. Этапы моделирования.

Эконометрика – наука, изучающая количественные закономерности и взаимозависимости в экономике методами математической статистики. Можно считать, что эконометрика – «экономика» + «метрика». Это наука об измерении и анализе экономических явлений, о количественных выражениях тех связей и соотношений, которые раскрыты и обоснованы экономической теорией. Это сплав четырех компонент: экономической теории, статистических и математических методов, компьютерных вычислений.

Основная задача курса «Эконометрика» – обучение будущих экономистов методам исследования экономических процессов, основанных на использовании реальных статистических данных и на положениях экономической теории. При изучении взаимосвязей между экономическими показателями применяются положения экономической теории, затем на основе выборочных (статистических) данных строятся модели, проводится оценка их составляющих. Итоговые результаты используются для прогнозирования, принятия решений и уточнения первоначальных положений. Основной особенностью эконометрических моделей является наличие в них случайных составляющих, обусловленное неучтенными факторами, ошибками измерений и др. При этом особую важность приобретает использование основ теории вероятностей и статистики.

Модель – объект любой природы, который создается исследователем с целью получения новых знаний об объекте-оригинале и отражает только существенные (с точки зрения разработчика) свойства оригинала.

Эконометрическая модель – вероятностно – статистическая модель, описывающая механизм функционирования экономической или социально – экономической системы. Можно выделить три основных класса эконометрических моделей: регрессионные модели с одним уравнением, модели временных рядов и системы одновременных уравнений.

В регрессионных моделях с одним уравнением объясняемая переменная представляется в виде функции от объясняющих переменных. По виду функции регрессионные модели делятся на линейные и нелинейные.

К моделям временных рядов относятся модели тренда и модели сезонности. Тренд представляет собой устойчивое изменение уровня показателя в течение длительного периода времени. Сезонность характеризует устойчивые колебания уровня показателя в течение небольшого промежутка времени (месяца, квартала, года).

Системы одновременных уравнений описываются системами уравнений, состоящими из тождеств и регрессионных уравнений, в каждом из которых аргументы содержат не только объясняющие переменные, но и объясняемые из других уравнений системы.

Моделирование – процесс построения, изучения и применения моделей.

Экзогенные переменные в модели – переменные, задаваемые «извне», автономно от модели, управляемые и планируемые.

Эндогенные переменные модели – переменные, значения которых формируются в процессе и внутри функционирования анализируемой социально – экономической системы в существенной мере под воздействием экзогенных переменных и во взаимодействии друг с другом. В эконометрическом моделировании являются предметом объяснения.

Лаговые переменные – это те переменные (экзогенные или эндогенные), значения которых рассматриваются в различные моменты времени, разделенные некоторым промежутком (лагом). Значения эндогенных переменных в предыдущие моменты времени могут заранее задаваться или вычисляться по уравнениям модели. Тогда эти эндогенные переменные играют роль экзогенных (объясняющих).

Предопределенные переменные модели – все экзогенные переменные модели и лаговые значения эндогенных переменных, которые служат для нахождения значений эндогенных переменных в данный момент времени.

Укажем основные этапы эконометрического исследования.

1. Постановочный. Формулируется цель исследования, определяется набор участвующих в модели экономических переменных. Целью исследования могут быть анализ процесса, прогноз экономических показателей, анализ возможного развития явления при различных значениях экзогенных переменных, выработка управленческих решений. При выборе переменных необходимо теоретическое обоснование каждой экономической переменной.

2. Априорный. Проводится анализ сущности изучаемого объекта, формирование и формализация известной до начала исследования информации.

3. Информационный. Осуществляется сбор необходимой статистической информации, значений экономических переменных.

4. Спецификация модели. В математической форме выражаются обнаруженные связи и соотношения, устанавливается состав экзогенных и эндогенных переменных; формируются исходные предпосылки и ограничения модели. Успех эконометрического моделирования зависит от точности выполненной задачи спецификации.

5. Параметризация. Оцениваются параметры (коэффициенты) выбранной зависимости на основе имеющихся статистических данных.

6. Идентификация. Осуществляется статистический анализ модели и оценка ее параметров.

7. Верификация. Проводится проверка адекватности модели, выясняется, насколько удачно решены проблемы спецификации, идентификации, какова точность расчетов по данной модели, насколько соответствует построенная модель реальному экономическому процессу.

 

 

Тема 1. Выборки и оценки.

1.1. Генеральная совокупность и выборка. Основные соглашения

Под генеральной совокупностью (ГС) понимают множество элементов произвольной природы, подлежащих обследованию по одному или нескольким признакам. Каждый из признаков является СВ, распределенной по некоторому закону. Примером обследования ГС может служить республиканская перепись населения. В этом примере каждый объект (человек) обследовался по многим признакам (возраст, образование, социальное положение и др.).

Современная МС оформилась и развивалась под давлением практических потребностей. При решении многочисленных практических задач статистики столкнулись с необходимостью изучения полных ГС с большим числом составляющих ее элементов, не имея реальной возможности изучать каждый элемент в отдельности. Например, современное промышленное предприятие, производящее в массовом масштабе различные типы промышленных изделий, не располагает возможностью установить качество производимой продукции, изучая каждое изделие в отдельности при его изготовлении или при передаче потребителю. В подобных случаях установили, что выходом для заинтересованного лица является изучение ограниченного числа элементов – части всей ГС – в надежде, что полученная таким путем информация будет полезной и достаточно точной для того, чтобы судить о качестве всей совокупности изделий.

Во многих случаях, например, при статистическом контроле качества выпускаемой продукции, когда обследование каждого элемента приводит к его полному уничтожению, обследование всей ГС не имеет смысла.

Часть элементов ГС, отобранных для обследования, называется выборкой. Количество отобранных элементов называют объемом выборки. Обычно n – объем выборки (количество наблюдений). В результате обследования выборки по некоторому признаку X получаем n значений исследуемого признака: x ₁, x ₂ ,...,x_n.

В МС рассматривают конкретную и математическую выборки. Конкретная выборка представляет собой совокупность из n чисел, с которыми можно производить различные вычислительные операции. Для объяснения понятия математической выборки мысленно представим себе, что из одной и той же ГС произведены другие выборки объема n. В результате обследования выборок получаем таблицу значений (верхний индекс означает номер выборки):

x ₁⁽¹⁾, x ₂⁽¹⁾ ,...,x_n ⁽¹⁾

x ₁⁽²⁾, x ₂⁽²⁾ ,...,x_n ⁽²⁾

...

x ₁ ^(k), x ₂ ^(k),...,x_n^(k)

...

Из таблицы видно, что i -е число конкретной выборки является значением некоторой СВ X_i, так как в разных выборках на i -м месте могут стоять, вообще говоря, различные числа. В связи с этим под математической выборкой будем понимать систему СВ (X ₁, X ₂ ,..., X_n),компоненты которой X_i, i = 1,2,..., n удовлетворяют нижеследующим условиям А) и Б).

А) Компонента X_i имеет такое же распределение, как и признак в ГС.

Б) X_i - взаимно независимые СВ.

Условие А) означает следующее: каждое выборочное значение является опытной реализацией одной и той же СВ X - изучаемого признака ГС. Поэтому нет оснований считать, что условие А) не выполняется. Принятие условия Б) обусловлено удобством различных теоретических выводов. На практике оно не всегда выполнено.

 

1.2. Способы оценивания и их свойства.

Как правило, на практике мы не знаем точного вероятностного распределения (дискретного признака) или плотности распределения вероятностей (непрерывного признака). Это означает, что неизвестны также и теоретическое среднее и дисперсия. Мы, тем не менее, можем нуждаться в оценках этих или других характеристик ГС.

Обычно способ оценивания представляет собой формулу для оценивания параметров ГС: . Более конкретно, оценкой параметра q по выборке называется произвольная функция от выборочных значений. Так как предполагаемые выборочные значения являются СВ, то и q * является СВ. Как только произведена выборка, у нас будет набор чисел , которые будут использованы для получения численной оценки параметра q. Таким образом, метод оценивания – формула, оценка – число. Если будут извлекаться другие выборки, то метод оценивания будет один и тот же, а оценки могут меняться от выборки к выборке.

Естественно потребовать, чтобы значения оценки по каждой выборке были близки к истинному значению оцениваемого параметра, которое будем обозначать q и которого мы не знаем. Обычно к оценкам параметров ГС, которые являются случайными величинами, выдвигаются следующие требования.

а1) Несмещенность. q* называется несмещенной оценкой q, если

М (q*) = q. (1.1)

а2) Эффективность. Можно получить несколько несмещенных оценок одного и того же параметра. Среди них следует выбрать оценку с наименьшей дисперсией, которую называют эффективной.

а3) Состоятельность. q* называется состоятельной оценкой q, если с увеличением объема выборки оценка q* приближается к истинному значению q. Формально это записывается с помощью предела по вероятности: для любого e>0

или . (1.2)

Соотношения (1.2) можно записать так же в виде равенства

,

левая часть которого и означает предел по вероятности. Отметим, что предел по вероятности обладает свойствами обычного предела функции: постоянную можно выносить за знак предела ; пределы арифметических операций (суммы, произведения, частного нескольких СВ) находятся по обычным формулам.

Очень часто, для проверки состоятельности оценок используются теорема Чебышева (закон больших чисел) и центральная предельная теорема.

Теорема Чебышева (частный случай). Пусть – независимые и одинаково распределенные СВ с математическими ожиданиями и дисперсиями . Тогда

. (1.3)

Центральная предельная теорема. Пусть – независимые и одинаково распределенные СВ с математическими ожиданиями и дисперсиями . Введем СВ и :

.

Тогда закон распределения СВ , которую называют нормированной суммой СВ , стремится при к нормальному закону с параметрами 0 и 1.

 

Примеры построения оценок.

Пример 1.1. Оценка математического ожидания признака в ГС. Пусть – предполагаемая выборка, по которой мы собираемся оценить . По соглашению А) математическое ожидание каждой компоненты равно , т. е. каждая выборочная компонента может служить несмещенной оценкой неизвестной величины . Средняя выборочная так же будет несмещенной оценкой . Действительно, по свойствам математического ожидания

.

Рассмотрим далее свойство эффективности оценок. Для этого предположим, что найдено несколько несмещенных независимых оценок параметра , дисперсия каждой из которых , т. е. равна дисперсии признака . Будем искать линейную комбинацию оценок , удовлетворяющую условиям несмещенности и минимальности дисперсии параметра : . Из требования несмещенности

=

= .

Из условия минимальности дисперсии получаем

=

В результате получаем задачу на условный экстремум для функции переменных:

при условии .

Для решения задачи по методу Лагранжа, составляем функцию Лагранжа

.

Необходимые условия экстремума

Так как , то точка является точкой условного минимума функции , т.е. оценка имеет минимальную дисперсию при условии , равную .

Проведенные рассуждения позволяют сделать следующее заключение. Дисперсия оценки , равная , обладает свойством минимальности, т. е. является эффективной оценкой математического ожидания среди линейных оценок.

Применим теорему Чебышева к выборке :

. (1.4)

Отсюда следует, что оценка является и состоятельной оценкой математического ожидания ГС.

Пример 1.2. Оценка дисперсии признака в ГС. Как и в примере 1.1, рассмотрим оценку дисперсии с помощью выборочной дисперсии, которая определяется формулой

. (1.5)

Для проверки несмещенности найдем математическое ожидание оценки:

.

Таким образом, оценка генеральной дисперсии с помощью выборочной дисперсии является смещенной. Чтобы получить несмещенную оценку дисперсии, выборочную дисперсию следует умножить на поправочный коэффициент , т. е. вместо выборочной дисперсии для оценки следует взять исправленную выборочную дисперсию .

Для проверки состоятельности оценки найдем предел по вероятности от правой части (1.5). Первое слагаемое является средним арифметическим независимых, одинаково распределенных СВ . По закону больших чисел . Для второго слагаемого . Отсюда следует, что , т. е. является состоятельной оценкой генеральной дисперсии . Так как , то = , т. е. исправленная дисперсия так же является состоятельной оценкой генеральной дисперсии.

Пример 1.3. Оценка ковариации признаков в ГС. Ковариация (корреляционный момент) между СВ и определяется как математическое ожидание произведения центрированных СВ:

,

где сумма берется по всем элементам ГС, – объем ГС. Рассмотрим выборку объема из двумерной ГС: . По основным соглашениям

. (1.6)

Покажем, что несмещенной оценкой ковариации является выборочный корреляционный момент

.

Предварительно преобразуем это выражение

. (1.7)

Заменяя , , получаем

.

Из (1.6) следует, что математическое ожидание каждого слагаемого 1-й суммы равно . Так как в 1-й сумме слагаемых, то математическое ожидание 1-й суммы равно . Во второй сумме слагаемых, причем для из них (когда ) математическое ожидание равно , а для остальных равно нулю. Тогда математическое ожидание 2-й суммы равно и

,

т. е. является несмещенной оценкой для .

Состоятельность оценки доказывается точно таким же образом, как и состоятельность при оценке дисперсии. Выражение является средним арифметическим независимых, одинаково распределенных СВ . По закону больших чисел

.

Предел по вероятности 1-й суммы в (1.7) равен . Пределы по вероятности остальных слагаемых в (1.7) равны нулю.