Основные характеристики случайных процессов

 

Случайными (стохастическими) процессами являются внешние помехи, флуктуационные шумы на выходе дискриминатора и других устройств РАС, внутренние возмущения в РАС: нестабильность частоты ПГ, нестабильность устройств регулируемой временной задержки и др.

Исследование РАС при случайных воздействиях в принципе можно проводить обычными методами, определяя параметры качества РАС при самых неблагоприятных (максимальных) значениях возмущения (наихудший случай).

Однако, поскольку максимальное значение случайной величины маловероятно и будет наблюдаться редко, к РАС будут предъявляться заведомо жесткие требования. Более рациональные решения можно получить, рассматривая наиболее вероятное значение случайной величины.

Закон распределения флуктуационных составляющих в линейных РАС можно считать нормальным (Гауссовским). Нормальный закон распределения характерен для внутренних возмущений. При прохождении случайного процесса через линейную систему, нормальный закон распределения остается неизменным. Если на входе РАС или в любой другой точке (например, на выходе дискриминатора) присутствует возмущение с законом распределения, отличным от нормального, и обладающее широким спектром S (ω), это возмущение эффективно нормализуется узкополосными элементами фильтра РАС.

Случайный процесс с нормальным законом распределения полностью определяется математическим ожиданием m (t) и корреляционной функцией R (τ).

Математическое ожидание (матожидание) случайного процесса x (t) представляет собой некоторую регулярную функцию m_x (t), около которой группируются все реализации данного процесса ( – плотность вероятности) [10]. Его называют также средним значением по множеству (ансамблю).

m_x (t) = М { x (t)} = . (6.1)

Случайный процесс (t) без регулярной составляющей m_x (t) называется центрированным .

Для учета степени разбросанности [10] случайного процесса относительно его среднего значения m_x (t) вводят понятие дисперсии:

D_x (t) = М {( (t))²} = . (6.2)

Среднее значение квадрата случайного процесса связано с его матожиданием m_x (t) и дисперсией D_x (t) формулой: .

На практике удобно оценивать случайный процесс статистическими характеристиками х_скв (t) и s _x (t), имеющими ту же размерность, что и сам процесс.

Среднеквадратичное значение х_скв (t) случайного процесса:

. (6.3)

Среднеквадратичное отклонение х_скв(t) случайного процесса:

. (6.4)

Матожидание и дисперсия не дают достаточного представления о характере отдельных реализаций случайного процесса. Для того, чтобы учесть степень изменчивости процесса или связь между его значениями в различные моменты времени, вводится понятие корреляционной (автокорреляционной) функции.

Корреляционная функция центрированного процесса (t) равна

, (6.5)

где – двумерная плотность вероятности.

Корреляционная функция является четной: R (τ) = R (– τ).

Если функции распределения и плотности вероятности процесса не зависят от сдвига по времени на одинаковую величину всех временных аргументов, такой случайный процесс называют стационарным.

Если у стационарного процесса совпадают значения среднего по множеству и среднего по времени, такой случайный процесс называют эргодическим.

Зная R (τ) можно определить дисперсию стационарного процесса:

. (6.6)

Спектральная плотность S _{l y} (ω) выходного процесса y (t) в линейной системе и спектральная плотность S _l(ω) входного воздействия связаны соотношением:

. (6.7)

Корреляционная функция R (τ) стационарного случайного процесса и его спектральная плотность S (ω) связаны преобразованием Фурье, поэтому часто анализ проводят в частотной области. Выполнив преобразование Фурье для (6.7), получаем выражение для корреляционной функции выходного процесса R_y (τ):

. (6.8)

Спектральные плотности S _{l y} (ω) и S _l(ω)являются двусторонними.

Можно ввести одностороннюю спектральную плотность N (f), которая определяется только для положительных частот ().

С учетом четности R (τ) и формулы Эйлера (6.8) можно упростить:

. (6.9)

Качество работы РАС относительно случайных сигналов и помех характеризуется суммарной среднеквадратической ошибкой (СКО).

Рассмотрим обобщенную РАС, схема которой представлена на рис. 2.11. Считаем воздействие λ(t) детерминированным, а возмущение ξ(t) на выходе дискриминатора – случайным процессом. С помощью формул (2.28)–(2.31) определим ПФ для ошибки при воздействии и возмущении.

. (6.10)

В общем случае между процессами воздействия и возмущения может существовать корреляция (связь). В этом случае кроме автокорреляционных функций вида (6.8) для каждого из процессов необходимо учитывать взаимные корреляционные функции процессов относительно друг друга. Через спектральные плотности по ошибке данные связи записывается следующим образом:

. (6.11)

После подстановки выражения (6.11) в формулу (6.8) получим соответствующие составляющие дисперсии:

. (6.12)

Если корреляция между процессами отсутствует, то S _lx(ω) = S _xl(ω) = 0, а также D _lx = D _xl = 0, и формула (6.12) упрощается

. (6.13)

Матожидание ошибки х (t) находится аналогично определению в установившемся режиме: .

Если спектральная плотность S_х (ω) описывается дробно-рациональной функцией относительно ω, то для вычисления D_x его представляют в виде:

. (6.14)

где – полином, содержащий четные степени i ω до 2 n –2 включительно; а – полином степени n, корни которого лежат в верхней полуплоскости комплексной переменной ω.

Интегралы (6.14) можно вычислить по формуле (6.15) [10]:

, (6.15)

где D _n – старший определитель Гурвица вида (4.7), составленный из коэффициентов а_j, а Q_n – определитель вида D _n, в котором в первой строке коэффициенты а_j заменены на b_j.

Для интеграла (6.15) есть таблицы значений [1–5, 10] для n ≤ 7.

Значения при n ≤ 4 определяются по формулам:

, , ,

. (6.16)

 

Пример 6.1. Определим СКО системы ФАПЧ из примера 4.2.

Пусть на входе РАС действует сигнал λ(t) = 1 + 0,1 t, а возмущение ξ(t) представляет собой белый шум с амплитудой N₀ = 1 мВ ().

Коэффициенты ошибок для данной РАС уже были найдены в примере 5.1.

Из формул (5.19)–(5.22) получаем .

Для ПФ ошибки по возмущению из формулы (2.30) после замены переменных р ® i ω получим (К₁ = S_д, k ₀ = k ₁ S_д, k ₁ = k_фk_и):

, (6.17)

После подстановки формулы (6.17) в (6.13) (D _l = 0) получим:

. (6.18)

Сравнивая (6.18) с выражением (6.14), находим порядок и коэффициенты полиномов (6.14): n = 3, b₂ = 0, b₁ = –(T₂)², b₀ = 1; a₃ = T_фT_д, a₂ = T_ф + T_д, a₁ = 1 + k ₀ T₂, a₀ = k ₀.

После подстановки в формулу (6.16) и преобразований получим:

. (6.19)

После подстановки численных значений в результате получаем:

m_x = 5×10^–4 (1/с), D_x = 1,06×10^–3 (1/с²) (при k ₀ = 200, S_д = 10, k ₁ = 20) или

m_x = 5×10^–4 (1/с), D_x = 0,66 (1/с²) (при k ₀ = 200, S_д = 0,4, k ₁ = 500).

Из (6.3), (6.4) следует, что x_ско ≈ s _x = 0,032 (1/с) при S_д = 10, а при S_д = 0,4 x_ско ≈ s _x = 0,81 (1/с).

 

Пример 6.2. Определим СКО РАС из примера 4.5 при тех же сигналах: λ(t) = 1 + 0,1 t и ξ(t) = N₀ = 1 мВ. λ′(t) = λ₁, λ″(t) = 0

. (6.20)

Коэффициенты ошибок для данной РАС найдем по формуле (5.19):.

v = 0, d₁ = 0, d₀ = S_д, b₃ = Т₁Т₂Т₃, b₂ = Т₁Т₂ + Т₂Т₃ + Т₁Т₃, b₁ = Т₁+Т₂+Т₃, b₀ = 1.

Из формул (5.19)–(5.22) получаем

.

Для ПФ ошибки по возмущению из формулы (2.30) после замены переменных р ® i ω в (6.20) получим:

, (6.21)

После подстановки формулы (6.20) в (6.13) (D_l = 0) получим:

. (6.22)

Сравнивая (6.21) с выражением (6.14), находим коэффициенты полиномов (6.14): n = 3, b₂ = b₁ = 0, b₀ = 1; a₃ = Т₁Т₂Т₃, a₂ = Т₁Т₂ + Т₂Т₃ + Т₁Т₃, a₁ = Т₁+Т₂+Т₃, a₀ = S_д + 1.

После подстановки в формулу (6.16) и преобразований получим:

. (6.23)

После подстановки численных значений получаем в результате:

m_x = (9,2 + 0,9 t)10^–2, D_x = 4,2×10^–4.

6.2. Графоаналитический метод определения дисперсии.