ТОП 10:

Основные характеристики случайных процессов



 

Случайными (стохастическими) процессами являются внешние помехи, флуктуационные шумы на выходе дискриминатора и других устройств РАС, внутренние возмущения в РАС: нестабильность частоты ПГ, нестабильность устройств регулируемой временной задержки и др.

Исследование РАС при случайных воздействиях в принципе можно проводить обычными методами, определяя параметры качества РАС при самых неблагоприятных (максимальных) значениях возмущения (наихудший случай).

Однако, поскольку максимальное значение случайной величины маловероятно и будет наблюдаться редко, к РАС будут предъявляться заведомо жесткие требования. Более рациональные решения можно получить, рассматривая наиболее вероятное значение случайной величины.

Закон распределения флуктуационных составляющих в линейных РАС можно считать нормальным (Гауссовским). Нормальный закон распределения характерен для внутренних возмущений. При прохождении случайного процесса через линейную систему, нормальный закон распределения остается неизменным. Если на входе РАС или в любой другой точке (например, на выходе дискриминатора) присутствует возмущение с законом распределения, отличным от нормального, и обладающее широким спектром S(ω), это возмущение эффективно нормализуется узкополосными элементами фильтра РАС.

Случайный процесс с нормальным законом распределения полностью определяется математическим ожиданием m(t) и корреляционной функцией R(τ).

Математическое ожидание (матожидание) случайного процесса x(t) представляет собой некоторую регулярную функцию mx(t), около которой группируются все реализации данного процесса ( – плотность вероятности) [10]. Его называют также средним значением по множеству (ансамблю).

mx(t) = М{x(t)} = . (6.1)

Случайный процесс (t) без регулярной составляющей mx(t) называется центрированным .

Для учета степени разбросанности [10] случайного процесса относительно его среднего значения mx(t) вводят понятие дисперсии:

Dx(t) = М{( (t))2} = . (6.2)

Среднее значение квадрата случайного процесса связано с его матожиданием mx(t) и дисперсией Dx(t) формулой: .

На практике удобно оценивать случайный процесс статистическими характеристиками хскв(t) и sx(t), имеющими ту же размерность, что и сам процесс.

Среднеквадратичное значение хскв(t) случайного процесса :

. (6.3)

Среднеквадратичное отклонение хскв(t) случайного процесса :

. (6.4)

Матожидание и дисперсия не дают достаточного представления о характере отдельных реализаций случайного процесса. Для того, чтобы учесть степень изменчивости процесса или связь между его значениями в различные моменты времени, вводится понятие корреляционной (автокорреляционной) функции.

Корреляционная функция центрированного процесса (t) равна

, (6.5)

где – двумерная плотность вероятности.

Корреляционная функция является четной: R(τ) = R(–τ).

Если функции распределения и плотности вероятности процесса не зависят от сдвига по времени на одинаковую величину всех временных аргументов, такой случайный процесс называют стационарным.

Если у стационарного процесса совпадают значения среднего по множеству и среднего по времени, такой случайный процесс называют эргодическим.

Зная R(τ) можно определить дисперсию стационарного процесса:

. (6.6)

Спектральная плотность Sly(ω) выходного процесса y(t) в линейной системе и спектральная плотность Sl(ω) входного воздействия связаны соотношением:

. (6.7)

Корреляционная функция R(τ) стационарного случайного процесса и его спектральная плотность S(ω) связаны преобразованием Фурье, поэтому часто анализ проводят в частотной области. Выполнив преобразование Фурье для (6.7), получаем выражение для корреляционной функции выходного процесса Ry(τ):

. (6.8)

Спектральные плотности Sly(ω) и Sl(ω)являются двусторонними.

Можно ввести одностороннюю спектральную плотность N(f), которая определяется только для положительных частот ( ).

С учетом четности R(τ) и формулы Эйлера (6.8) можно упростить:

. (6.9)

Качество работы РАС относительно случайных сигналов и помех характеризуется суммарной среднеквадратической ошибкой (СКО).

Рассмотрим обобщенную РАС, схема которой представлена на рис. 2.11. Считаем воздействие λ(t) детерминированным, а возмущение ξ(t) на выходе дискриминатора – случайным процессом. С помощью формул (2.28)–(2.31) определим ПФ для ошибки при воздействии и возмущении.

. (6.10)

В общем случае между процессами воздействия и возмущения может существовать корреляция (связь). В этом случае кроме автокорреляционных функций вида (6.8) для каждого из процессов необходимо учитывать взаимные корреляционные функции процессов относительно друг друга. Через спектральные плотности по ошибке данные связи записывается следующим образом:

. (6.11)

После подстановки выражения (6.11) в формулу (6.8) получим соответствующие составляющие дисперсии:

. (6.12)

Если корреляция между процессами отсутствует, то Slx(ω) = Sxl(ω) = 0, а также Dlx = Dxl = 0, и формула (6.12) упрощается

. (6.13)

Матожидание ошибки х(t) находится аналогично определению в установившемся режиме: .

Если спектральная плотность Sх(ω) описывается дробно-рациональной функцией относительно ω, то для вычисления Dx его представляют в виде:

. (6.14)

где – полином, содержащий четные степени iω до 2n–2 включительно; а – полином степени n, корни которого лежат в верхней полуплоскости комплексной переменной ω.

Интегралы (6.14) можно вычислить по формуле (6.15) [10]:

, (6.15)

где Dn – старший определитель Гурвица вида (4.7), составленный из коэффициентов аj, а Qn – определитель вида Dn, в котором в первой строке коэффициенты аj заменены на bj.

Для интеграла (6.15) есть таблицы значений [1–5, 10] для n ≤ 7.

Значения при n ≤ 4 определяются по формулам:

, , ,

. (6.16)

 

Пример 6.1. Определим СКО системы ФАПЧ из примера 4.2.

Пусть на входе РАС действует сигнал λ(t) = 1 + 0,1t, а возмущение ξ(t) представляет собой белый шум с амплитудой N0 = 1 мВ ( ).

Коэффициенты ошибок для данной РАС уже были найдены в примере 5.1.

Из формул (5.19)–(5.22) получаем .

Для ПФ ошибки по возмущению из формулы (2.30) после замены переменных р ® iω получим (К1 = Sд , k0 = k1Sд , k1 = kфkи):

, (6.17)

После подстановки формулы (6.17) в (6.13) (Dl = 0) получим:

. (6.18)

Сравнивая (6.18) с выражением (6.14), находим порядок и коэффициенты полиномов (6.14): n = 3, b2 = 0, b1 = –(T2)2, b0 = 1; a3 = TфTд, a2 = Tф + Tд , a1 = 1 + k0T2, a0 = k0.

После подстановки в формулу (6.16) и преобразований получим:

. (6.19)

После подстановки численных значений в результате получаем:

mx = 5×10–4 (1/с), Dx = 1,06×10–3 (1/с2) (при k0 = 200, Sд = 10, k1 = 20) или

mx = 5×10–4 (1/с), Dx = 0,66 (1/с2) (при k0 = 200, Sд = 0,4 , k1 = 500).

Из (6.3), (6.4) следует, что xско ≈ sx = 0,032 (1/с) при Sд = 10, а при Sд = 0,4 xско ≈ sx = 0,81 (1/с).

 

Пример 6.2. Определим СКО РАС из примера 4.5 при тех же сигналах: λ(t) = 1 + 0,1t и ξ(t) = N0 = 1 мВ. λ′(t) = λ1, λ″(t) = 0

. (6.20)

Коэффициенты ошибок для данной РАС найдем по формуле (5.19): .

v = 0, d1 = 0, d0 = Sд, b3 = Т1Т2Т3, b2 = Т1Т2+Т2Т3+Т1Т3, b1 = Т123, b0 = 1.

Из формул (5.19)–(5.22) получаем

.

Для ПФ ошибки по возмущению из формулы (2.30) после замены переменных р ® iω в (6.20) получим:

, (6.21)

После подстановки формулы (6.20) в (6.13) (Dl = 0) получим:

. (6.22)

Сравнивая (6.21) с выражением (6.14), находим коэффициенты полиномов (6.14): n = 3, b2 = b1 = 0, b0 = 1; a3 = Т1Т2Т3, a2 = Т1Т2 + Т2Т3 + Т1Т3, a1 = Т123, a0 = Sд + 1.

После подстановки в формулу (6.16) и преобразований получим:

. (6.23)

После подстановки численных значений получаем в результате:

mx = (9,2 + 0,9 t)10–2, Dx = 4,2×10–4.

6.2. Графоаналитический метод определения дисперсии.







Последнее изменение этой страницы: 2016-09-18; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.8.46 (0.007 с.)