Глава 7. Системы эконометрических уравнений

 

Многие экономические взаимосвязи допускают моделирование одним уравнением. Однако при моделировании достаточно сложных экономических объектов и макроэкономических ситуаций необходимо учитывать возможную взаимосвязь факторов - аргументов, что может быть отражено не одним регрессионным уравнением, а системой взаимосвязанных уравнений, содержащих как повторяющиеся, так и собственные переменные. Таким образом, в ряде случаев возникает необходимость использования систем уравнений в эконометрическом анализе.

Системой эконометрических уравнений будем называть набор взаимосвязанных регрессионных моделей (уравнений), в котором одни и те же переменные могут одновременно играть роль результирующих показателей и объясняющих (факторных) переменных в различных уравнениях системы. В целом методы оценивания систем уравнений представляют собой более сложную задачу, чем оценка параметров одного регрессионного уравнения. В данной главе рассмотрены основные структурные характеристики и процедуры оценивания эконометрических моделей в виде систем уравнений.

 

Основные виды и составляющие систем

Эконометрических уравнений

 

Для простоты изложения материала будем считать, что системы содержат всего лишь два уравнения. При этом все полученные выводы могут быть обобщены на системы с произвольным числом уравнений и содержащихся в них переменных.

В эконометрике принято различать следующие виды систем уравнений [1,28,33]:

система независимых уравнений когда каждая зависимая переменная Y рассматривается как функция одного и того же набора факторов-аргументов X:

(7.1)

;

система рекурсивных уравнений когда зависимая переменная Y одного уравнения представляет собой объясняющую переменную другого уравнения:

(7.2)

;

система внешне не связанных уравнений:

(7.3)

При этом Cov (₁, ₂) 0. Данный вид модели может соответствовать экономической ситуации, когда уравнения (7.3) представляют зависимости результирующих экономических показателей различных предприятий, но действующих «в одной экономической среде» (например, компании «Газпром» и «ЛУКойл»). Внешне эти уравнения выглядят как не связанные друг с другом, однако в данной ситуации следует считать случайные отклонения ₁ и ₂ коррелированными. Отсюда следует, что эффективность оценивания можно повысить, рассматривая эти уравнения совместно;

система взаимосвязанных (совместных) одновременных уравнений когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях одновременно присутствуют в левой части, а в других – в правой:

(7.4)

.

Такая система уравнений называется структурной формой модели, а параметры a, b, c структурными коэффициентами.

В общем случае системы эконометрических уравнений содержат множество взаимосвязанных переменных, которые принято классифицировать как экзогенные, эндогенные и предопределенные. Такая классификация осуществляется в зависимости от содержательной стороны модели и определяет разделение ролей в системе одновременных уравнений.

Эндогенными переменными называются взаимосвязанные переменные Y, которые формируются внутри модели (экономического объекта).

Экзогенными переменными называются внешние по отношению к модели переменные Х, значения которых определяются вне системы.

Предопределенными переменными (т. е. заранее определенными) называются экзогенные и лаговые эндогенные переменные системы.

Таким образом, эконометрическая модель в виде системы одновременных уравнений служит для объяснения поведения эндогенных переменных в зависимости от значений экзогенных и лаговых эндогенных переменных.

С точки зрения эконометрического анализа, основное отличие между экзогенными и эндогенными переменными заключается в том, что экзогенные переменные не коррелируют со случайными отклонениями (остатками) регрессии, а эндогенные, как правило, коррелируют.

Классическим примером систем одновременных взаимосвязанных уравнений является равновесная модель «спроса-предложения» в рыночной экономике [1,26]:

(уравнение предложения)

(уравнение спроса) (7.5)

(условие равновесия рынка),

где P_t цена некоторого товара в момент времени t; I_t доход в момент времени t; a, b, c неизвестные коэффициенты (параметры модели), которые подлежат определению.

Модель содержит два регрессионных (поведенческих) уравнения и одно тождество

В соответствии с моделью (7.5) цена и величина спроса и предложения определяются одновременно, подчиняясь соответствующим уравнениям, т. е. формируют свои значения внутри модели. Поэтому обе эти переменные следует считать эндогенными. В отличие от них значения переменной I_t поступают в систему как характеристики внешней среды, т. е. формируются вне модели. Следовательно, доход является экзогенной переменной. Если с целью совершенствования модели в уравнение предложения ввести переменную P_{t 1}, определяющую значения цены товара в предыдущий момент времени, то эта переменная и доход I_t будут являться предопределенными переменными в данной модели.

 

Оценивание систем уравнений

 

Для нахождения параметров системы уравнений (7.1) независимо применяется МНК, после чего проводится анализ качества полученных оценок.

Системы рекурсивных уравнений (7.2), в которых эндогенные переменные последовательно (рекурсивно) связаны друг с другом, также могут быть оценены с использованием обычного МНК. В этих моделях структурные уравнения оцениваются поэтапно, т. е. на первом этапе оцениваем Y ₁, затем Y ₂ (в общем случае N уравнений, последовательно Y ₁ Y ₂ … Y_N).

Наиболее часто в экономике приходится рассматривать системы одновременных уравнений вида (7.4). Если применить к данной системе обычный метод наименьших квадратов, то, как отмечено в разделе 6.2, полученные оценки будут несостоятельными вследствие корреляции эндогенных переменных с остатками регрессии. Поэтому для оценивания систем одновременных уравнений применяют такие специальные методы, как косвенный метод наименьших квадратов, двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК) в сочетании с методом инструментальных переменных, трехшаговый метод наименьших квадратов [11,28].

Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) основан на использовании приведенных уравнений системы, которые могут быть получены в результате преобразования структурных уравнений и должны содержать в правых частях только экзогенные переменные Х.

Процедура КМНК проводится по следующей схеме:

1. Исходя из структурных уравнений системы, строятся уравнения в приведенной форме (приведенная форма модели).

2. Оцениваются по МНК коэффициенты уравнений в приведенной форме.

3. На основе оценок, полученных на этапе 2, которые связаны определенными соотношениями с исходными параметрами, находятся оценки и самих параметров (коэффициентов структурных уравнений).

Например, разрешая уравнения системы (7.4) относительно y ₁ и y ₂, запишем уравнения в приведенной форме:

(7.6)

,

где

(7.7)

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных уравнений, в которых эндогенные переменные выражены через все предопределенные переменные исходной системы и случайные отклонения.

Далее, применяя к уравнениям (7.6) обычный МНК, получим оценки и . В свою очередь, равенства (7.7) позволяют выразить исходные параметры через,, и получить оценки косвенного метода наименьших квадратов , .

В рассмотренном примере уравнения (7.7) однозначно разрешимы относительно структурных параметров, что позволяет найти их несмещенные оценки. Очевидно, что подобная ситуация далеко не всегда имеет место. Таким образом, возникает вопрос: при каких условиях можно полностью восстановить структурную форму модели по приведенной? Поставленный вопрос отражает сущность задачи, логически предшествующей оцениванию уравнений, и подводит нас к необходимости рассмотрения проблемы идентификации систем эконометрических уравнений.

Исходную систему уравнений называют идентифицируемой (точно определенной), если по коэффициентам приведенных уравнений можно однозначно определить все коэффициенты структурных уравнений.

Исходная система называется неидентифицируемой, если хотя бы один из коэффициентов участвующих в ней структурных уравнений не может быть определен (восстановлен) по коэффициентам приведенных уравнений.

Исходная система называется сверхидентифицируемой, если по коэффициентам приведенных уравнений определяются все коэффициенты приведенных уравнений, причем один или несколько коэффициентов данной приведенной формы могут одновременно принимать различные числовые значения.

Обычно модель является идентифицируемой, когда количество оцениваемых структурных параметров в точности равно количеству оцененных коэффициентов приведенной формы. Проявление сверхидентифицируемости связано с количеством наблюдений: при достаточно большом объеме выборки все различные состоятельные оценки параметра близки к одному и тому же истинному значению. Неидентифицируемость уравнения системы не связана с числом наблюдений и определяется внутренней структурой модели, которая в данном случае формируется таким образом, что общее число структурных коэффициентов превышает число коэффициентов приведенной формы.

Для получения необходимых выводов об идентифицируемости структурных уравнений разработаны следующие необходимые и достаточные условия. Если число эндогенных переменных в определенном уравнении системы обозначим через Н, а число предопределенных переменных, которые присутствуют в системе, но не входят в данное уравнение, – через D, то необходимое условие идентифицируемости уравнений модели может быть представлено в виде следующего счетного правила:

D + 1 = Н уравнение идентифицируемо;

D + 1 < Н уравнение неидентифицируемо;

D + 1 > Н уравнение сверхидентифицируемо.

Достаточное условие идентифицируемости, вытекающее из общей теории систем линейных уравнений, гласит, что определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не меньше числа эндогенных переменных системы минус единица.

Рассмотрение задачи идентифицируемости структурных уравнений необходимо для выбора метода статистического оценивания параметров модели. Для оценки идентифицируемого уравнения системы применяется косвенный метод наименьших квадратов, для оценки сверх– идентифицируемых уравнений – двухшаговый метод наименьших квадратов.

Основные понятия двухшагового метода наименьших квадратов (ДМНК) описаны нами в разделе 6.2.2 предыдущей главы. Нетрудно заметить, что в приведенной форме (7.6) экзогенные переменные х ₁ и х ₂ можно рассматривать как инструментальные для переменных у ₁, у ₂, не коррелирующие с остатками модели. На практике метод инструментальных переменных применяется в форме ДМНК, который в данном случае осуществляется следующим образом: в качестве инструментальных переменных используются прогнозные значения , переменных у ₁, у ₂, полученные при оценивании приведенной формы. Затем эти значения подставляются в правую часть структурной формы (7.4) и строятся МНК-оценки структурных коэффициентов. Если система точно идентифицируема, то оценки двухшагового метода наименьших квадратов совпадают с оценками, полученными косвенным методом наименьших квадратов. Очевидно, что в случае сверхидентификации уравнения системы имеется возможность использовать различные наборы инструментальных переменных. Тогда, согласно ДМНК, переменные должны представлять собой линейные комбинации инструментальных переменных, наиболее тесно коррелирующих с переменными Y.

Для оценивания систем одновременных уравнений может быть применен так называемый трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК), который учитывает взаимодействие уравнений в системе. Он более эффективен, чем ДМНК, так как позволяет проводить одновременное оценивание всех параметров системы в том случае, когда случайные отклонения различных уравнений системы взаимозависимы. В трехшаговом методе наименьших квадратов сохраняются первые два шага ДМНК. Однако полученные по ДМНК оценки уточняются с помощью одновременного оценивания на третьем шаге. На этом шаге используется обобщенный метод наименьших квадратов, т. е. составляется матричное уравнение системы и оценивается ковариационная матрица остатков всех уравнений, входящих в систему. Затем эта матрица используется для вычисления оценок всех структурных параметров.

Процедура ТМНК одновременной оценки всех параметров уравнений системы как внешне не связанных широко применяется в стандартных компьютерных пакетах.

Пример 7.1. [31]. Необходимо проверить, является ли идентифицируемой следующая эконометрическая модель[1]:

.

Модель имеет три эндогенные (у ₁, у ₂, у ₃) и три экзогенные (х ₁, х ₂, х ₃) переменные. Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

Первое уравнение.

Необходимое условие: эндогенных переменных – 2 (у ₁, у ₃), отсутствующих экзогенных – 1 (х ₂).

Выполняется необходимое равенство: 2 = 1 + 1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Достаточное условие: в первом уравнении отсутствуют переменные у ₂ и х ₂. Составим матрицу А из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

 

Уравнение	Отсутствующие переменные
Первое	у 2	х 2
Второе		а 22
Третье	b 32

 

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение:

Необходимое условие: эндогенных переменных – 3 (у ₁, у ₂, у ₃), отсутствующих экзогенных – 2 (х ₁, х ₃).

Выполняется необходимое равенство: 3 = 2 + 1, следовательно, уравнение точно идентифицировано.

Достаточное условие: во втором уравнении отсутствуют переменные х ₁ и х ₃. Составим матрицу В из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

 

Уравнение	Отсутствующие переменные
Второе	х 1	х 3
Первое	а 11	а 13
Третье	а 31	а 33

 

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение:

Необходимое условие: эндогенных переменных – 2 (у ₂, у ₃), отсутствующих экзогенных – 1 (х ₂).

Выполняется необходимое равенство: 2 = 1 + 1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Достаточное условие: в третьем уравнении отсутствуют переменные у ₁ и х ₂. Составим матрицу С из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

 

Уравнение	Отсутствующие переменные
Третье	у 1	х 2
Первое
Второе	b 21	а 22

 

.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть оценена косвенным методом наименьших квадратов.

 

Вопросы и упражнения для самопроверки

 

1. Чем вызвана необходимость использования систем уравнений в эконометрическом моделировании?

2. Что представляют собой системы рекурсивных уравнений?

3. Что представляют собой системы одновременных уравнений?

4. Каким методом проводится оценивание параметров систем рекурсивных уравнений?

5. Как интерпретируется состав переменных в системе одновременных уравнений?

6. Поясните различие между структурной и приведенной формой модели в виде системы регрессионных уравнений.

7. В чем состоит суть косвенного метода наименьших квадратов (КМНК)?

8. Какую проблему необходимо рассматривать при численной оценке параметров структурных уравнений по оценкам коэффициентов приведенных уравнений?

9. Назовите причины сверхидентифицируемости и неидентифицируемсти систем одновременных уравнений.

10. Сформулируйте необходимое и достаточное условия идентифицируемости систем.

11. В чем состоит суть метода инструментальных переменных в форме двухшагового метода наименьших квадратов (ДМНК) при оценивании систем одновременных уравнений?

12. В чем заключается процедура оценивания параметров систем регрессионных уравнений, которая носит название трехшагового метода наименьших квадратов (ТМНК)?

13. Рассматривается система уравнений вида:

Укажите, какие переменные здесь являются экзогенными, а какие – эндогенными.

Проверьте, является ли данная система идентифицируемой. Изменится ли ответ, если в число регрессоров второго уравнения включить переменную х?

 

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика. Основы эконометрики. В 2-т. М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2001. 448 с.
2. Бабешко Л.О. Основы эконометрического моделирования. М.: КомКнига, 2006. 270 с.
3. Бадалова А.Г. Управление рисками промышленных предприятий // Управление риском. 2004. N1(29). С. 24-30.
4. Банников В.А. Векторные модели авторегрессии и коррекции регрессионных остатков // Прикладная эконометрика. 2006. N3. C. 96-120.
5. Берндт Э.Р. Практика эконометрики: классика и современность. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.
6. Болдыревский П.Б. Основные элементы системы управления рисками промышленных предприятий // Вестник ННГУ. 2013. N3(3). C. 31-34.
7. Болдыревский П.Б., Кистанова Л.А. Математико-статистическая модель инновационной деятельности промышленных предприятий // Экономический анализ: теория и практика. 2014. N15. C. 57-64.
8. Болдыревский П.Б., Скобло М.Р. Эконометрическая модель эффективности производства зерновых в АПК // Вестник Нижегородского коммерческого института. 2008. N14. C. 50-53.
9. Боровиков В.П. Популярное введение в программу STATISTICA. СПб.: Питер, 1998.
10. Боровиков В.П. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере. СПб.: Питер, 2003.
11. Бородич С.А. Эконометрика: Учебное пособие / С.А. Бородич. – Мн.: Новое знание, 2001. 408 с.
12. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 1998. 576 с.
13. Вентцель Е.С., Овчаров В.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000. 400 с.
14. Воищева О.С. Эконометрические модели качественных переменных // Вестник Воронежского госуниверситета. 2006. N2. C. 261-264.
15. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 1998. 442 с.
16. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1998. 479 с.
17. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. М.: Наука, 1985.
18. Грицан В.Н. Эконометрика. М.: Маркетинг, 2001. 150 с.
19. Давнис В.В. Использование регрессионных моделей в факторном анализе рисков // Современная экономика. Проблемы и решения. 2011. N8(20). C. 96-102.
20. Давнис В.В., Тинякова В.И. Предельный анализ регрессионных моделей дискретного выбора // Экономический анализ: теория и практика. 2006. N10. C. 4-13.
21. Джонстон Дж. Эконометрические методы. М.: Статистика, 1980.
22. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. / К. Доугерти. – М.: ИНФРА-М, 1997. 402 с.
23. Иберла К. Факторный анализ: пер. с нем. – М.: Статистика, 1980.
24. Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. М.: Дело, 1999.
25. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: учебник. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. 311 с.
26. Курс экономической теории: Учебник / Под ред. М.Н. Чепурина. Киров: АСА, 2001. 752 с.
27. Луговская Л.В. Эконометрика в вопросах и ответах. М.: Проспект, 2005.
28. Магнус Я.Р., Катышев Л.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: учебник. М.: Дело, 2000. 400 с.
29. Мардас А.Н. Эконометрика. Краткий курс. СПб.: Питер, 2001. 144 с.
30. Орлова Л.А. Эконометрика на промышленном предприятии // Российское предпринимательство. 2003. N3. C. 79-84.
31. Практикум по эконометрике: Учебное пособие / Под ред. И.И. Ели­сеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. 190 с.
32. Самышева Е.Ю. Эконометрические методы в современной экономике // Российское предпринимательство. 2010. вып. 2. С. 44-48.
33. Тимофеев В.С., Фаддеенков А.В., Щеколдин В.Ю. Эконометрика. М.: Юрайт, 2013. 328 с.
34. Фёдорова Е.А., Шелопаев Ф.М., Ермоленко А.И. Финансовая среда предпринимательства и предпринимательские риски. М.: КНОРУС, 2010. 360 с.
35. Харман Г. Современный факторный анализ. М.: Статистика, 1972.
36. Эконометрика: учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2007.
37. Экономико-математические методы и прикладные модели / Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. 315 с.
38. Яковлева А.В. Эконометрика: конспект лекций. М.: Эксмо, 2008.