Геометрическое распределение

Пусть производится ряд независимых испытаний (”попыток”) для достижения некоторого результата (события ), и при каждой попытке событие может появиться с вероятностью . Тогда число попыток до появления события , включая удавшуюся, - дискретная случайная ве-личина, возможные значения которой 1,2… …. Вероятности их по теореме умножения вероятностей для независимых событий равны

где .

Вероятности образуют для ряда последовательных значений бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с пер-вым членом и знаменателем (поэтому распределение называется гео-метрическим).

Ряд распределения имеет вид

				….	m	…
				….		…

Математическое ожидание и дисперсия равны

.

Пример. Производится ряд попыток включить двигатель. Каждая занимает время и заканчивается успешно независимо от других с веро-ятностью . Построить ряд распределения общего времени , которое потребуется для включения двигателя, найти его математическое ожида-ние и дисперсию.

Решение. Число попыток - дискретная случайная величина с воз-можными значениями Поэтому общее время - тоже случайная величина, подчиненная геометрическому закону распределения, и ее ряд распределения будет иметь вид

				…		…
				…		…

По свойствам математического ожидания и дисперсии

, .

Пример. Имеется лампочек; каждая из них с вероятностью имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток; при этом дефектная лампочка сразу же перегорает и заменяется новой. Построить ряд распределения числа лампочек , которое будет испробовано и найти вероятность того, что свет появится при третьем включении.

Решение. По условию Ряд распределения :

	1	2	3	…		…
				…		…

.

3.4. Гипергеометрическое распределение

Пусть в урне N шаров, из них n белых, остальные черные. Случайно отбирают m шаров, причем отобранный шар перед отбором следующего не возвращается обратно (поэтому формула Бернулли неприменима).

Пусть - число белых шаров среди отобранных. Очевидно, это дис­крет­ная случайная величина. Ее возможные значения:

Как известно, вероятность того, что из m отобранных шаров ровно k белых равна

Эта формула определяет распределение случайной величины k, называемое гипергеометрическим. Оно характеризуется тремя пара­мет­рами: N, m, n. Пример построения гипергеометрического закона распре­де­ления приведен на стр. 40.

Закон равномерного распределения вероятностей

Непрерывная случайная величина Х подчинена закону равномерного распределения вероятностей, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения Х, плотность вероятностей постоянна и равна

Графики плотности вероятностей равномерно распределенной слу-чайной величины Х и функции распределения F(x) показаны на рисунке.

Обычно вместо параметров a и b используют математическое ожи-дание Х и половину ширины области возможных значений случайной величины.

Очевидно,

Дисперсия закона равномерного распределения

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал , принадлежащий , равна

.

Пример. Поезда метрополитена идут с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Найти среднее зна-чение времениожидания поезда, его дисперсию и вероятность того, что пассажир будет ожидать очередной поезд не более 0,5 мин.

Решение. Пусть Т - время ожидания поезда. Это непрерывная слу-чайная величина, равномерно распределенная в интервале (0,2). Следова-тельно,

Пример. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти ве-роятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,05.

Решение. Ошибку округления можно рассматривать как непре-рывную случайную величину X, распределеннуюравномерно в интервале между двумя соседними делениями. В рассматриваемой задаче длина ин-тервала в котором заключены возможные значения X, равна 0,2. Поэтому плотность равномерного распределения вероятностей вне этого интервала

Ошибка округления превышает 0,05, если она заключена в интервале

Так как то