Повторение испытаний. Схема Бернулли. Биномиальное распределение. Формула Пуассона

Последовательные испытания наз-ся независимыми, если вероятность осущ-я любого исхода в n-ом по счету эксперименте не зависит от исходов предыдущих испытаний.

Схема испытаний Бернулли:

1. послед-ть независимых испытаний с двумя исходами («успех» и «неуспех»);

2. эксперимент проводится n раз в неизменных усл-ях, т.е. вероятности «успеха»(p) и «неуспеха»(1-p=q) неизменны.

 

n-число испытаний, k-число благоприятных исходов, событие А – «успех», Х – случ.величина, обозначающая число «успехов» в n испытаниях по сх. Бернулли (Х=0,1,2,…n).

- формула Бернулли, где C_n^k-число случайного размещения события А в послед-ти из n мест.

Соответствующее распр-е случ.вел.Х наз-ся биномиальным распр-ем. Свойства бином.распр-я:

1. ;

2. -матем.ожидание

3. -дисперсия.

Приближенная формула Пуассона: . При , при условии (-интенсивность потока): = = ; .

· 9.Производящие функции вероятностей.

· G(z)=P₀+P₁z+P₂z+…+P_kz^k…=M[z^k]

_· G(1)= (кси) =1

· G’(z)=P₁+2P₂z+3P₃z²+…+ KP_Kz^k-1

· G’(1)=M[x]=m

· G”(z)=2P₂+6P₃z+…+k(k-1)P_kZ^k-2

^· G”(1)=∑k²P_k - ∑kP_k

_{· k=0 k=0} Биномиальное распределение

· X=0,1,2,…n –бином-ое распредел.

^· Pk=P[x=k]=C^k_nP^kq^n-k

· G(z)=P₀+P₁z+P₂z+…+P_kz^k…=∑ C^k_nP^kq^n-kz^k=

^· =∑ C^k_n(pz)^kq^n-k=(pz+q)ⁿ

· G’(z)=n(pz+q)^n-1p

· G’(1)=M[x]=np

^· G”(z)=n(n-1)(pz+q)^n-2p²

^· G”(1)=n(n-1)p²

_· M[x]=np = ∑kP_k D[x]=npq = ∑(k-np)²P_k

· Распределение Пуассона

^· P_k=P[x=k]= (λ^k\k!)e^-λ

^· G(z)= ∑(λ^k\k!)e^-λz^k=e^-λ∑(λz)^k\k!= e^-λ e^zλ= e^λ(z-1)

· G’(1)= e^λ(z-1) λ

· G’(1)= λ= M[x]=m

^· G”(z)= e^λ(z-1) λ²

· G”(1)= λ²

· M[x]=λ D[x]= λ²+ λ- λ²= λ

· Геометрическое распределение

· X=0,1,2….

· P_k=P[x=k]q^kp

· G(z)= ∑P_kz^k=∑q^kpz^k=p∑(qz)^k=P*1\(1-qz)=P\(1-qz)

^· M[x]=1\p D[x]=q\p²

· 10.Вероятность в непрерывных пространствах элементарных событий и ее свойства. Геометрические вероятности

· Пусть - непрерывное простр-во.

· Алгебра событий (F) – это система подмножеств , кот.удовл-ет следующим свойствам:

· 1. ;

· 2. A,B F => A+B F, AB F, не А и не В CF;

· 3 . F явл-ся сигма-алгеброй, если определены операции.

· Пусть событие А F, тогда Р(А) – вероятность, число, которое должно удовл-ть: 1. Р(А)>=0; 2. P()=1; 3. A+B F => P(A+B)=P(A)+P(B). Свойства вероятностей:

· 1. - вер-ть невозможного события

· 2.

· 3. - если А-следствие В, то Р(А)<=Р(В).

· 4. P(A+B)<=P(A)+P(B)

· 5. непрерывности:

· если А1, А2,…, Аn,…: , то ;

· если , то .

· Геометрические вер-ти, Для любого подмножества А можно посчитать его площадь: Р(А)=площ.А/площ.

· Т.к. вер-ть пропорцион-на площади, то чем > лощадь, тем > вероятность попадания в событие.

· P(A)=mes(A)/mes() – мера А/мераS.

 

 

11.Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность распределения, и их Свойства. Механическая интерпретация. Свойства мат. Ожидания и дисперсии. Квантили. Мода. Медиана. Асимметрия и эксцесс Случайная величина Х называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная частично-непрерывная функция f(x), удовлетворяющая для любых значений x равенству (случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал). f_x - плотность распределения вероятностей (плотность распр-я единичной массы на инт-ле). Св-ва:

если x [a;b]: 1. f(x)>=0; 2. ; ;

если : 1. f(x)>=0; 2. ; - норм.распр-е.

 

F(x) – ф-я распределения для непрер.случ.величин, определена на всей числовой оси, ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х. Свойства:

1. 0 <=F(X)<= 1

2. F(- )=0

3. F(+ )=1

4. F(X)-неубыв.ф-я

5.

6. F(X)=dF(X)/dx

7. - вер-ть попадания в отрезок [c;d].

Мат.ожидание: , , где f(x)dx=P[x<X<x+dx] – элемент вер-ти. Свойства:

1. M[cX]=cM[X]

2. M[c+X]=c+M[X]

3. M[X+Y]=M[X]+M[Y]

4. = ,

Дисперсия: , . Начальный момент k-го порядка - ;

Центральный момент k-го порядка - . Асимметрия - , где - ср.квадратич.отклонение

Эксцесс – хар-ет форму распред-я в окрестности вершины

Квантиль – абсцисса (точка на оси х), которая слева от себя отделяет площадь под графиком плотности, равную Р. F(x_p)=P – порядок квантили. 1. ; 2. . Квантиль порядка 0,5 – х_0,5 – для любого распр-я наз-ся медианой (h) (отделяет ½ площади под плотностью слева и справа). Если распр-е симметрично, то h совпадает с мат.ож. m.

Мода (d) – абсцисса, при кот. плотность распр-я имеет максимум: f(d)=max

- моды нет (несколько лок.максимумов)

Нормальное распределение. Вероятность попадания в интервал, симметричный относительно мат. ожидания. Асимметрия и эксцесс распределения. Вычисление центрального момента порядка k. Стандартизированное нормальное распределение и его свойство. Правило трех сигм.

Нормальное распределение N(m,s²) имеет плотность, определяемую формулой:

Функция распр-я F(х) норм.распр-я равна:

Параметры m и s² норм.распр-я равны соответственно мат.ожиданию и дисперсии случ.вел-ны Х:

Центральные моменты норм.распр-я можно вычислить из рекуррентного ур-ния:

μ_k+2=(k+1)s²μ_k, k=0,1,2,… (причем μ₀=1)

Для норм.распр-я все центр.моменты нечетного порядка равны 0.

Коэффициент ассиметрии a_x норм.распр-я равен 0.

a_x=μ₃/s₃

Из формул получаем: μ₂=s², μ₄=3s⁴

Коэффициент эксцесса равен 0: е_х= μ₄/s⁴-3=0

Стандартизированное нормальное распределение и его свойство.

Норм.распр-е с нулевым мат.ожиданием и дисперсией,равной 1, назыв.стандартным норм.распр-нием:

Х~ N(0,1)

Ф-ла плотности j(х) станд.норм.закона равна

, -¥<x<¥

А функция распр-я:

Так как плотность распр-я станд.норм.закона j(х) симметрична относ-но оси ординат,то для ф-ции распр-я Ф(х) справедливо след.св-во: Ф(-х)=1-Ф(х)

Зн-я функции Ф(х) использ.при вычислении вер-ти попадания норм.распр-ной случ.величины Х в заданный интервал:

В практич.задач часто приходится вычислять вер-ть попадания случайной величины Х~ N(m,s²) в интервал, симметричный относительно ее математического ожидания m:

Используя получ.рез-тат,вычислим вер-ть отклоенения от мат.ожидания норма.распр-ной случ.вел-ны на вел-ну,равную трем средневкадратич.отклонениям, 3s:

P[|X-m|<3s]=2Ф(3)-1»2*0,9987-1»0,9973

Этот результат известен как «правило трех сигм»: с вер-тью 0,9974(практически =1)зн-е нормально распределенной случ.вел-ны лежит в интервале (m-3s;m+3s)

Правило трех сигм это правило часто используется для подтверждения или отбрасывания гипотезы о нормальном распределении случайной величины.

 

Системы дискретных случайных величин. Таблица распределения. Независимость. Ковариация. Механическая интерпретация. Условные распределения.

Рассмотрим две случайные величины X и Y, определенные на одном дискретном вероятностном пр-ве (Ω,F,P). Обозначим значения, кот. принимает случ. величина Х через х1, х2, …, хn, а значения случ. величины Y через y1,y2,…,yn. Распределение вероятностей X и Y обозначим соответственно p_х1, p_х2, …, p_хn и p_y1, p_y2, …, p_yn. Вер-ть события, состоящего в том, что Х=хi и Y=yj, обозначим как P[X=xi; Y=yj]=p_ij.

Опр Система равенств P[X=xi; Y=yj]=p_ij, p_ij>0, , p_ij=1, i=1,2,.., n, j=1,2,..,m определяет совместное распределение дискретных случайных величин X и Y или системы 2-ух дискр. случ. величин (X,Y).

Распределение системы 2-ух дискр. случ. вел. (X,Y) записывают в виде таблицы распределения.

 

Таблица (1)

Суммируя вер-ти p_ij по строкам, получим рапределение случ. вел X: , i=1,2,.., n, суммирование вер-тей p_ij по столбцам дает распределение случ. вел. Y: , j=1,2,..,m. Аналогично определяется распределение системы более чем 2-ух случ. вел.

Условные распределения: Условная вер-ть события Х=хi при условии, что Y=yj (p_yi>0) определяется формулой (1). Система равенств (1) при, i=1,2,.., n задает условное распределение случ. вел. X при условии,что случ. вел Y принимает заданное значение Y= yj.

Опр Определение независимости случ. величин. Пусть таблица (1) суть таблица распределения случ. вел X и Y. Случ. вел-ны X и Y наз. независимыми, если события X=xi и Y=yj независимы для всех i и j таких, что 1≤i≤n, 1≤j≤m, т.е. или p_ij= .(если это условие не выполняется, то величины зависимые) Если X и Y независимые случ. вел., то таблица распределения (1) имеет вид таблицы умножения. Аналогично определяется взаимная независимость более чем 2-ух случ. вел. Для независ. случ. вел. Условные вер-ти равны безусловным вер-тям = ,

Опр Случайные величины X1, X2,..,Xn определенные на одном дискретном вероятностном пр-ве наз. взаимно независимыми, если для любой комбинации значений x_i1, x_i2,.., x_in. .

Опр П усть случ. величины X и Yимеют конечные дисперсии. Ковариацией X и Y наз.. математическое ожидание произведения центрированных случ. величин (X-m_x) и (Y-m_y):

cov(X,Y)=M[(X-m_x)(Y-m_y)]= M[XY]-m_xM[Y]-m_xM[X]+m_xm_y=M[XY]-m_xm_y (Центрированной случайной величиной, соответствующей величине Х, называется отклонение случайной величины Х от её математического ожидания)

Св-ва cov:

1.Если X и Y независимые случ. вел, то cov(X,Y)=0, обратное же неверное, т.е. если cov(X,Y)=0, это не значит,что величины независимы.

2.cov(aX,aY)=abcov(X,Y), где a и b – константы

3.cov(X,Y)≤

Это неравенство явл. следствием неравенства Коши-Буняковского: (M[XY])²≤M[X²]*M[Y²] (1).

Док-во нер-ва (1):

Рассмотрим очевидное неравенство M[(aX+Y)²] ≥0, где а-любое действительное число, а≠0. Преобразуем левую часть этого неравенства, используя св-ва мат. ожиданий

M[(aX+Y)²]=M[a²X²+2aXY+Y²]=a²M[X²]+2aM[XY]+M[Y²]≥0 Т. К. Полученный относительно a трехчлен принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант будет меньше или равен нулю: 4(M[XY])²-4M[X²] *M[Y²]≤0 Отсюда следует неравенство (M[XY])²≤M[X²]*M[Y²]. Заменим X на (X-m_x), а Y на (Y-m_y), получим: (M[(X-m_x)(Y-m_y)])²≤M[(X-m_x)²]*M[(Y-m_y)²] или (cov(X,Y))²≤D[X]*D[Y]

Механическая интерпретация.

 

N-мерные случ. величины

(x1, x2,..,xn)- n-мерный случ. вектор

(x1, x2,..,xn)=

M[ ]=(M[x1],…, M[xn]), т.е мат. ожидание вектора равняется вектору мат. ожиданий.

Cov(Xi;Yj)=M[(Xi-m_xi)(Yj-m_yj)], j,i=1,..,n

-ковариационная матрица (симметрична)

-корреляционная матрица(симметрична)

D[x1+x2+x3]=D[x1]+D[x2]+D[x3]+2cov(x1,x2)+2cov(x2,x3)+2cov(x1,x3)