Коэффициент корреляции как характеристика статистической связи. Некоррелированность и независимость случ. величин.

В качестве меры линейной зависимости между случ. величинами X и Y используют коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле

Св-ва коэфиициента корреляции:

1.

Док-во: рассмотрим систему 2-ух случ. вел: (X,Y) Проведем нормировку (стандартизацию), т.е.

M[X]= m_x D[X]=σ_x² X^x_{нормиров}= Нормированная величина – это тогда, когда

M[Y]=m_y D[Y]= σ_y² Y^y_{нормиров}= m_ч=0, а σ_x=1

Cov(X^x,Y^y)=M[{ }]*M[{ }]=

2. Если X и Y – незав. случ. вел, то , причем обратное неверно

3.Если X и Y связаны линейной функциональной зависимостью: Y=aX+b, где a,b – const, a≠0,то

Док-во:

Т.к M[Y]=aM[X]+b=am_x+b, то имеем cov(X,Y)=M[(X-m_x)*(Y-m_y)]=M[(X-m_x)(aX+b-am_x-b)]=M[(X-m_x)a(X-m_x)]=aD[X]

Вычислим дисперсию случ. вел. Y=aX+b D[Y]=D[aX+b]=a²D[X]

Таким образом, коэффициент корреляции равен:

Следовательно, =1, если a>1 и

=-1, если a<0

Т.е коэффициент корреляции является показателем линейной зависимости, но если ρ_xy=0. это не значит,что между ними нет никакой связи, это значит, что нет линейной зависимости.

Если коэффициент корреляции между случ. вел. X и Y равен 0, то говорят, что X и Y некоррелированны.

Некоррелированность случ. вел X и Y означает только, что между ними нет линейной зависимости и не означает статистическую независимость случ. вел X и Y.

 

16.Системы 2-ух непрерывных случ. вел. Определение ф=ции распределения и плотности, условные распределения, зависимость и независимость случ. вел. Числовые характеристики.

Пусть на вероятностном пр-ве (Ω,F,P) заданы непрерывные случ. вел X1=X1(ω), X2=X2(ω),.., Xn=Xn(ω), ω Ω.

Опр Совместной ф-цией распределения F(x₁, x₂,…, x_n) случ. вел X1,X2,..,Xn наз-ся вероятность события [X1<x1;X2,x2;…;Xn<xn]: F(x₁, x₂,…, x_n) =P [X1<x1;X2,x2;…;Xn<xn]

Фукция распределения:

F(X,Y)=P[X<x,Y<y]

Если пользоваться геом. интерпретацией системы образом случ. точки, то ф-ция распред. есть не что иное, как вер-ть попадания случ точки (X,Y) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (x,y), лежащий левее и ниже ее.(Лекция 12, рис)

()ки, то ф-ция распред. Е

1.Ф-ция распред. Есть неубывающая ф-ция обоих своих аргументов,т.е

При x2>x1, F(x2,y)≥ F(x1,y)

При y2>y1 F(x,y2) ≥F(x,y1)

2.Повсюду на -∞ ф-ция распред. равна нулю:

F(x,-∞)= F(-∞,y)= F(-∞,-∞)=0

3. F(x,+∞)=F1(x1(): распред. я обоих своих аргументов,т.е), F(+∞,y)=F2(y)

4. F(+∞,+∞)=1

 

2()Неотрицательная ф-ция n переменных f(x₁, x₂,…, x_n) наз-ся совместной плотностью распределения случ. величин X1,X2,..,Xn, если их совместная ф-ция распределения может быть представлена в виде F(x₁, x₂,…, x_n) = Геометрически функцию f(x,y) можно изобразить некоторой поверхностью – поверхность распределения. Если пересечь поверхность распред. Плоскостью, перелелльной плоскости XOY, и спроектировать полученное сечение на плоскость XOY, получится кривая, в каждой точке которой плотность расред. постоянна. угольника \ольник и площади прямоугольника \спределения и плоскостью Чщ

Плотность распределения имеет след. св-ва:

1. f(x₁, x₂,…, x_n) ≥; (это ясно из того, что плотность распред. есть предел отношения двух неотриц. величин: вероятности попадания в прямоугольник и площади прямоугольника)

2. =1; (геометрически это cв-во означает,что полный объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью XOY равен едицице.)

3.Если ф-ция определена, вектор попадет в некоторую область,тогда вер-ть определяется: P[(x1,x2,..,xn) G]= (геометрически вер-ть попадания в область G изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распред и опирающегося на область G.

Зная совместную плотность распределения f(x₁, x₂,…, x_n) случ. вел X1,X2,..,Xn можно найти плотность распред. каждой случ. вел. Для двумерного вектора (X1,X2) с плотностью f(x₁, x₂) распределение случ. вел X1, f₁(x₁) равна f₁(x₁) = , а плотность распред. случ. вел. X2, f₂(x₂) равна f₂(x₂) =

Опр Случ. величины X1,X2,..,Xn наз-ся независимыми, если для любых действительных переменных x₁, x₂,…, x_n, F(x₁, x₂,…, x_n) =F1(x₁)* F2(x₂)*…* Fn(x_n), где Fi(x_i)-ф-ция распред. случ. вел Xi, i=1,2..,n

Равносильное определение независимости случайных величин X1,X2,..,Xn записывается так f(x₁, x₂,…, x_n) =f₁(x₁)* f₂(x₂)*…* f_n(x_n), где f_i(x_i)-плотность распред. случ вел. Xi, i=1,2..,n

f₁(x)=

f₂(y)=

 

X и Y независимы, если = f₁(x)* f₂(y)

X и Y независимы, если f(X/Y)= f₁(x); f(Y/X)= f₂(y)

Условные плотности распределения.

Распределение Y, если X принимает какое-либо значение f(Y/X)

Распределение X, если Y принимает какое-либо значение f(X/Y)