Равномерное распределение. Плотность, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия.

Равномерное распределение. Плотность, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение. Исходя из основного свойства плотности вероятности, f(x) = 1/(b-a) на интервале (a;b).

Основное свойство плотности вероятности: несобственный интеграл от плотности вероятности в пределах от -∞ до +∞ равен единице. Геометрически это выражается тем, что площадь фигуры, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу - осью OX, равна 1.
а) График плотности равномерного распределения. b) График функции распределения.

Математическое ожидание равномерного распределения:

Пусть случайная величина - координата точки, брошенной наудачу на отрезок . Тогда математическое ожидание

Дисперсия равномерного распределения:

Математическое ожидание . Вычислим второй момент:

Дисперсия равна .

Среднее квадратичное отклонение равномерного распределения:

 

Двумерная СВ. Задание закона распределения указанной СВ.

Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя,…, n числами. Такие величины называются соответственно друмерными, трехмерными,…, n – мерными.

Будем обозначать через (X, Y) двумерную случайную величину. Каждую из величин X, Y называют составляющей (компонентой); обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух СВ.

Законом распределения дискретной двумерной СВ называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел и их вероятностей . Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом.

Первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей Х, а первый столбец – все возможные значения составляющей Y. В клетке, стоящей на пересечении «столбца » и «строки », указана вероятность того, что двумерная СВ примет значение .

Так как события образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы равна 1.

Зная закон распределения двумерной дискретной СВ, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Действительно, например события , , …, несовместны, поэтому вероятность того, что Х примет значение , по теореме сложения такова:

.
Таким образом, вероятность того, что Ч примет значение , равна сумме вероятностей «столбца ». В общем случае, чтобы найти вероятность , надо просуммировать вероятность столбца . Аналогично сложив вероятности «строки », получим вероятность .

41. Функция распределения двумерной СВ, ее свойства. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу и прямоугольник.

Функцией распределения двумерной СВ (X, Y) называют функцию F(x,y), определяющую для каждой пары чисел х, у вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение, меньшее у:

F(x, y) = P(X< x, Y< y).
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x,y) есть вероятность того, что случайная точка (X, Y) попадает в бесконечный квадрат с вершиной (x, y), расположенный левее и ниже этой вершины.

Свойство 1. Значение функции распределения удовлетворяют двойному неравенству

Свойство 2. F(x, y) есть неубывающая функция по каждому аргументу т.е.

Свойство 3. Имеют место предельные соотношения:

1) 3)

2) 4)

Свойство 4. a) При y = ∞ функция распределения системы становится функцией распределения составляющей X:

Используя функция распределения системы СВ X и Y, легко найти вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадает в полуполосу и Y < y (рисунок 2а) или в полуполосу и (рисунок 2б).

Вычитая из вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной вероятность попадания точки в квадрант с вершиной (рисунок 2а), получим

Аналогично имеем .

Таким образом, вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.

Рассмотрим прямоугольник со сторонами параллельными осям (рисунок 3). Пусть уравнения сторон таковы: .

 

Найдем вероятность попадания случайной точки в этот прямоугольник. Искомую вероятность можно найти, например, так: из вероятности попадания случайной точки в полуполосу с вертикальной штриховкой (эта вероятность равна ) вычесть вероятность попадания точки в полуполосу с горизонтальной штриховкой (эта вероятность равна ):

(*)

Основные понятия математической статистики: генеральная и выборочная совокупности. Повторная и бесповторная выборки.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. Выборки подразделяются на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

47. Виды представления статистического эксперимента (вариационного ряда): полигон, гистограмма, эмпирическая функция распределения.

Простейшее преобразование статистических данных является их упорядочивание по величине.

Выборка объёма из генеральной совокупности , упорядоченная в порядке неубывания элементов, т.е. , называется вариационным рядом:

Рисунки и графики представляют собой удобный и наглядный способ представления выборки. Выборку, извлеченную из дискретной генеральной совокупности, можно представить в виде полигона частот или полигона относительных частот. На плоскости в прямоугольной системе координат строят точки с координатами или соответственно и соединяют эти точки отрезками прямых. Полученная ломаная и называется полигоном частот (если по оси ординат отложены частоты вариант) или полигоном относительных частот (если по оси ординат отложены относительные частоты вариант). Полигон можно построить и для сгруппированной выборки. Но чаще для отображения таких выборок используют гистограммы. Гистограмма – это столбчатая диаграмма, изображенная на координатной плоскости. Если отложить по оси абсцисс границы интервалов одинаковой ширины, на которые разбита сгруппированная выборка, а по оси ординат – частоты или относительные частоты соответствующих интервалов, то можно построить график в виде прямоугольников, ширина которых равна длине интервала, а высота – соответствующей частоте или относительной частоте. Полученная диаграмма называется гистограммой частот или гистограммой относительных частот соответственно. На гистограмме частот сумма всех высот равна , а на гистограмме относительных частот – единице. Необходимо подчеркнуть, что гистограммы частот и относительных частот имеют смысл только в том случае, если все интервалы одинаковой ширины.

 

Эмпирической функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х< х.

По определению F*(x) =

Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоритической функции распределения генеральной совокупности.

Основные свойства функции распределения выборки.

1. Эмпирическая функция распределения принимает значения из интервала ( ).

2. Функция распределения выборки является неубывающей, непрерывной слева функцией.

3. Если – наименьшее опытное значение, то для . Если – наибольшая варианта, то для .

 

 

Равномерное распределение. Плотность, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение. Исходя из основного свойства плотности вероятности, f(x) = 1/(b-a) на интервале (a;b).

Основное свойство плотности вероятности: несобственный интеграл от плотности вероятности в пределах от -∞ до +∞ равен единице. Геометрически это выражается тем, что площадь фигуры, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу - осью OX, равна 1.
а) График плотности равномерного распределения. b) График функции распределения.

Математическое ожидание равномерного распределения:

Пусть случайная величина - координата точки, брошенной наудачу на отрезок . Тогда математическое ожидание

Дисперсия равномерного распределения:

Математическое ожидание . Вычислим второй момент:

Дисперсия равна .

Среднее квадратичное отклонение равномерного распределения: