Корреляционный момент и коэффициент корреляции составляющих двумерной СВ.

Определение. Корреляционным моментом m_xy случайных величин Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин.

Практически используются формулы:

Для дискретных случайных величин:

Для непрерывных случайных величин:

Корреляционный момент служит для того, чтобы охарактеризовать связь между случайными величинами. Если случайные величины независимы, то их корреляционный момент равен нулю.

Корреляционный момент имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин Х и Y. Этот факт является недостатком этой числовой характеристики, т.к. при различных единицах измерения получаются различные корреляционные моменты, что затрудняет сравнение корреляционных моментов различных случайных величин.

Для того, чтобы устранить этот недостаток применятся другая характеристика – коэффициент корреляции.

Определение. Коэффициентом корреляции r_xy случайных величин Х и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной. Для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю.

 

Свойство: Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин Х и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий.

Свойство: Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы.

 

Основные понятия математической статистики: генеральная и выборочная совокупности. Повторная и бесповторная выборки.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. Выборки подразделяются на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

47. Виды представления статистического эксперимента (вариационного ряда): полигон, гистограмма, эмпирическая функция распределения.

Простейшее преобразование статистических данных является их упорядочивание по величине.

Выборка объёма из генеральной совокупности , упорядоченная в порядке неубывания элементов, т.е. , называется вариационным рядом:

Рисунки и графики представляют собой удобный и наглядный способ представления выборки. Выборку, извлеченную из дискретной генеральной совокупности, можно представить в виде полигона частот или полигона относительных частот. На плоскости в прямоугольной системе координат строят точки с координатами или соответственно и соединяют эти точки отрезками прямых. Полученная ломаная и называется полигоном частот (если по оси ординат отложены частоты вариант) или полигоном относительных частот (если по оси ординат отложены относительные частоты вариант). Полигон можно построить и для сгруппированной выборки. Но чаще для отображения таких выборок используют гистограммы. Гистограмма – это столбчатая диаграмма, изображенная на координатной плоскости. Если отложить по оси абсцисс границы интервалов одинаковой ширины, на которые разбита сгруппированная выборка, а по оси ординат – частоты или относительные частоты соответствующих интервалов, то можно построить график в виде прямоугольников, ширина которых равна длине интервала, а высота – соответствующей частоте или относительной частоте. Полученная диаграмма называется гистограммой частот или гистограммой относительных частот соответственно. На гистограмме частот сумма всех высот равна , а на гистограмме относительных частот – единице. Необходимо подчеркнуть, что гистограммы частот и относительных частот имеют смысл только в том случае, если все интервалы одинаковой ширины.

 

Эмпирической функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х< х.

По определению F*(x) =

Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоритической функции распределения генеральной совокупности.

Основные свойства функции распределения выборки.

1. Эмпирическая функция распределения принимает значения из интервала ( ).

2. Функция распределения выборки является неубывающей, непрерывной слева функцией.

3. Если – наименьшее опытное значение, то для . Если – наибольшая варианта, то для .