Центральная предельная теорема (цпт), следствия из нее.

Нормальное распределение -наиболее распространенное в природе распределение непрерывных величин. Математическим обоснованием этого факта служит центральная предельная теорема:

Сумма большого числа как угодно распределенных независимых случайных величин распределена асимптотически нормально, если только слагаемые вносят равномерно малый вклад в сумму.

Это значит, что чем больше независимых слагаемых в сумме, тем ближе закон ее распределения к нормальному. Вместо суммы часто рассматривают среднее арифметическое большого числа случайных величин, оно отличается от суммы только множителем (1/n), поэтому его распределение также стремится к нормальному с ростом числа n суммируемых величин. Поскольку случайные величины, с которыми мы сталкиваемся, например, при измерениях, есть результат действия множества независимых факторов, понятно, почему измеряемые значения, как правило, распределены нормально.

Если независимые случайные величины не распределены по нормальному закону, то можно наложить на них некоторые весьма нежесткие ограничения, и их сумма будет все-таки распределена нормально.

Эту задачу поставили и решили в основном русские ученые П. Л. Чебышев и его ученики А. А. Марков и А. М. Ляпунов.

Теорема (Ляпунов).

Если независимые случайные величины имеют конечные математические ожидания и конечные дисперсии , число их достаточно велико, а при неограниченном возрастании

,

где - абсолютные центральные моменты третьего порядка, то сумма их с достаточной степенью точности имеет распределение

Фактически мы приводим не теорему Ляпунова, а одно из следствий из нее, так как этого следствия вполне достаточно для практических приложений. Поэтому условие , которое названо условием Ляпунова, является более сильным требованием, чем необходимо для доказательства собственно теоремы Ляпунова.

 

Смысл условия состоит в том, что действие каждого слагаемого (случайной величины) невелико по сравнению с суммарным действием их всех. Многие случайные явления, встречающиеся в природе и в общественной жизни, протекают именно по такой схеме. В связи с этим теорема Ляпунова имеет исключительно большое значение, а нормальный закон распределения является одним из основных законов в теории вероятностей.

Следствием центральной предельной теоремы является широко применяемая при решении задач теорема Муавра-Лапласа:

Если производится серия n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие происходит с вероятностью р, то закон распределения величины,

 

 

где m - число появлений события в n испытаниях, а q = 1 - p, стремится к нормальному с матожиданием 0 и дисперсией 1 при n, стремящемся к бесконечности.

Поскольку плотность нормального распределения с матожиданием 0 и дисперсией 1 как функция х, а также значение интеграла от этой плотности в пределах от 0 до z как функция z табулированы во всех учебниках и задачниках по теории вероятностей, то легко найти вероятность попадания х, а следовательно и m при известных n, p в любой интервал.

Двумерная СВ. Задание закона распределения указанной СВ.

Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя,…, n числами. Такие величины называются соответственно друмерными, трехмерными,…, n – мерными.

Будем обозначать через (X, Y) двумерную случайную величину. Каждую из величин X, Y называют составляющей (компонентой); обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух СВ.

Законом распределения дискретной двумерной СВ называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел и их вероятностей . Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом.

Первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей Х, а первый столбец – все возможные значения составляющей Y. В клетке, стоящей на пересечении «столбца » и «строки », указана вероятность того, что двумерная СВ примет значение .

Так как события образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы равна 1.

Зная закон распределения двумерной дискретной СВ, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Действительно, например события , , …, несовместны, поэтому вероятность того, что Х примет значение , по теореме сложения такова:

.
Таким образом, вероятность того, что Ч примет значение , равна сумме вероятностей «столбца ». В общем случае, чтобы найти вероятность , надо просуммировать вероятность столбца . Аналогично сложив вероятности «строки », получим вероятность .

41. Функция распределения двумерной СВ, ее свойства. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу и прямоугольник.

Функцией распределения двумерной СВ (X, Y) называют функцию F(x,y), определяющую для каждой пары чисел х, у вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение, меньшее у:

F(x, y) = P(X< x, Y< y).
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x,y) есть вероятность того, что случайная точка (X, Y) попадает в бесконечный квадрат с вершиной (x, y), расположенный левее и ниже этой вершины.

Свойство 1. Значение функции распределения удовлетворяют двойному неравенству

Свойство 2. F(x, y) есть неубывающая функция по каждому аргументу т.е.

Свойство 3. Имеют место предельные соотношения:

1) 3)

2) 4)

Свойство 4. a) При y = ∞ функция распределения системы становится функцией распределения составляющей X:

Используя функция распределения системы СВ X и Y, легко найти вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадает в полуполосу и Y < y (рисунок 2а) или в полуполосу и (рисунок 2б).

Вычитая из вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной вероятность попадания точки в квадрант с вершиной (рисунок 2а), получим

Аналогично имеем .

Таким образом, вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.

Рассмотрим прямоугольник со сторонами параллельными осям (рисунок 3). Пусть уравнения сторон таковы: .

 

Найдем вероятность попадания случайной точки в этот прямоугольник. Искомую вероятность можно найти, например, так: из вероятности попадания случайной точки в полуполосу с вертикальной штриховкой (эта вероятность равна ) вычесть вероятность попадания точки в полуполосу с горизонтальной штриховкой (эта вероятность равна ):

(*)