Закон больших чисел (збч). Неравенства Чебышева и Маркова и следствия из них.

Под законом больших чисел и понимается совокупность предложений, в которых утверждается, что с вероятностью, как угодно близкой к единице (или нулю), произойдет событие, зависящее от очень большого, неограниченно увеличивающегося числа случайных событий, каждое из которых оказывает на него лишь незначительное влияние.

Точнее, под законом больших чисел понимается совокупность предложений, в которых утверждается, что с вероятностью, как угодно близкой к единице, отклонение средней арифметической достаточно большого числа случайных величин от постоянной величины - средней арифметической их математических ожиданий, не превзойдет заданного как угодно малого числа.

Рассмотрим сначала вспомогательные теоремы: лемму и неравенство Чебышева, с помощью которых легко доказывается закон больших чисел в форме Чебышева.

Лемма (Чебышев).

Если среди значений случайной величины Х нет отрицательных, то вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, превосходящее положительное число А, не больше дроби, числитель которой — математическое ожидание случайной величины, а знаменатель - число А:

Неравенство Чебышева.

Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания превзойдет по абсолютной величине положительное число , не больше дроби, числитель которой - дисперсия случайной величины, а знаменатель - квадрат

Теорема. (Закон больших чисел в форме Чебышева)

Если дисперсии независимых случайных величин ограничены одной константой С, а число их достаточно велико, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдет по абсолютной величине данного положительного числа , каким бы малым оно ни было:

.

Следствие. Если независимые случайные величины имеют одинаковые, равные , математические ожидания, дисперсии их ограничены одной и той же постоянной С, а число их достаточно велико, то, сколько бы мало на было данное положительное число , как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от не превзойдет по абсолютной величине .

 

Формулировка неравенства Маркова

Если среди значений случайной величины Х нет отрицательных, то вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, превосходящее положительное число А, не больше дроби , т.е. , а вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, не превосходящее положительного числа А, не меньше , т.е. .