Согласованный фильтр и корреляционный приемник

 

Пусть на вход согласованного фильтра воздействует принятое колебание x(t)= s (t, l₀) + n (t). Тогда сигнал на выходе согласованного фильтра можно представить в виде:

(1.12)

Интеграл в этом выражении носит наименование корреляционного интеграла. Действительно, с точностью до постоянного множителя он представляет собой взаимную ковариационную функцию принятого колебания x(t) и копии полезного сигнала s (t,).

Выражение (1.12) можно записать также в виде:

где

(1.13а)

– сигнальная функция;

 

(1.13б)

– шумовая функция.

Из соотношений (1.12) и (1.13а) следует, что полезный сигнал s_в (t) на выходе согласованного фильтра с точностью до постоянного размерного множителя k равен ковариационной функции входного полезного сигнала:

взятой от аргумента t –- t₀:

s_в (t) = kK (t – t ₀), s_{в max} (t ₀) = kE_s. (1.14)

Следует также помнить, что в большинстве случаев фильтрации подвергаются высокочастотные сигналы (радиосигналы), у которых среднее значение равно нулю, и в этом случае ковариационная функция совпадает с корреляционной:

K() = R().

Таким образом, согласованный фильтр в принципе выполняет ту же операцию, что и корреляционный приемник; в этом смысле они эквивалентны. Вопрос о применении корреляционного приемника или согласованного фильтра в каждом конкретном случае решается в зависимости от простоты технической реализации. Следует отметить, что при одном и том же входном сигнале s(t, l ) характер сигнальной и шумовой функций на выходе корреляционного приемника и согласованного фильтра различен. Отличие в вычислении корреляционного интеграла корреляционным приемником и согласованным фильтром заключается в том, что коррелятор определяет единственную точку ковариационной функции сигнала, а именно максимальную точку, а согласованный фильтр вычисляет ковариационную функцию сигнала полностью.

Дисперсия шума на выходе согласованного фильтра может быть определена через выходной шум, равный на основании (1.12) и (1.13б):

n_в(t) q _{0 n} (t).

Тогда корреляционная функция шума:

 

Но есть корреляционная функция белого шума:

Тогда в силу фильтрующего свойства -функции интеграл отличен от нуля лишь при u ₁ = u ₂ = u и двойной интеграл переходит в однократный:

или, вводя замену t ₀ – t ₁ + u,

(1.15)

Из формулы (1.15) видно, что корреляционная функция выходного шума имеет вид корреляционной функции входного сигнала. Тогда дисперсия выходного шума:

(1.16)

Из формул (1.14) и (1.16) находим отношение наибольшего значения выходного сигнала к среднеквадратическому значению выходного шума:

(1.17)

где q – отношение сигнал/помеха по амплитуде.

 

Физически возможные фильтры.

Квазиоптимальные фильтры

 

При практическом построении оптимальных и согласованных линейных фильтров кроме найденных соотношений надо также учитывать условия физической возможности и практической реализуемости фильтров. Условие физической возможности фильтра записывается в виде [6]:

h(t) = 0при t £0;

Если сигнал s(t), с которым должен быть согласован фильтр, начинается в момент времени ₀ и полностью прекращается при t ₀ + _и, то первое из условий выполняется при t _{0 0}+_и. Только при этом условии будет использована вся энергия сигнала для формирования сигнального пика на выходе фильтра в момент t ₀. Увеличение t ₀ сверх ₀ + _и, не влияя на значение пика, сдвигает его в сторону большего запаздывания, что обычно нежелательно. Поэтому следует брать t ₀ = ₀+_и, т. е. момент наблюдения должен совпадать с окончанием входного сигнала. Иногда для аппроксимации реальных импульсных сигналов используют бесконечно длинные импульсы (гауссовский, экспоненциальный и т. д.). Тогда приходится искусственно выбирать конечное значение длительности аппроксимирующего сигнала, содержащей основную долю энергии реального сигнала.

Не всякий физически возможный фильтр можно реализовать практически, т. е. построить из сравнительно небольшого числа элементов, обладающих легко выполнимыми характеристиками. В этом случае нужно либо выбирать такие сигналы, для которых получаются легко реализуемые фильтры, либо использовать практически осуществимые фильтры, отношение сигнал/помеха на выходе которых лишь немного меньше значения, определяемого соотношением (1.17). Такие фильтры называются квазиоптимальными.

Обозначим через rотношение значения сигнал / помеха на выходе произвольного линейного фильтра к значению сигнал / помеха на выходе согласованного фильтра. Используя выражение (1.6) и заменяя S_n( w ) на N ₀ / 2(для белого шума), получаем:

Радиоимпульс	Вид АЧХ фильтра	max	a
Прямоугольный Гауссовский Прямоугольный Гауссовский Прямоугольный То же - “ -	Идеально прямоугольная Идеально прямоугольная Гауссовская То же Одиночный резонансный контур 2 несвязанных резонансных контура 5 несвязанных резонансных контуров	0,91 0,94 0,94 1,00 0,90 0,93 0,94	1,37 0,72 0,72 0,63 0,40 0,61 0,67

В таблице приведены максимальные значения max для различных форм полезных радиоимпульсных сигналов и разных видов частотных

характеристик реализуемых фильтров при наилучших значениях их полос пропускания. При этом полоса выбирается из условия f· _и = a, f – ширина полосы пропускания на уровне 0,5 по мощности, t_и – эффективная длительность импульса.

Видно, что уменьшение отношения сигнал/помеха при замене оптимального фильтра квазиоптимальным можно сделать весьма небольшим.

При проектировании квазиоптимальных фильтров задаются структурой фильтра исходя из конструктивных соображений, а полосу его пропускания на уровне 0,707 от максимума определяют, максимизируя величину при изменении полосы пропускания. Квазиоптимальные фильтры для радиоимпульсных и вообще для высокочастотных сигналов выполняются на базе колебательных контуров или активных полосовых фильтров. Число контуров обычно задается из конструктивных соображений. Полосу пропускания оптимизируют, изменяя добротность колебательной системы.

На практике часто приходится работать с сигналами, имеющими случайную амплитуду и фазу. Как следует из (1.8) и (1.9), форма частотной характеристики не зависит от амплитуды. Поэтому для сигнала со случайной амплитудой можно использовать тот же фильтр, что и для сигнала с детерминированной амплитудой. Фазочастотная характеристика фильтра зависит от фазы сигнала. Однако при непрерывном случайном изменении фазы сигнала мы в подавляющем большинстве не имеем возможности перестраивать фильтр. Поэтому случайная фаза сигнала при проектировании фильтра принимается равной своему среднему значению, что несколько снижает отношение сигнал/помеха на выходе.

 

 

Синтез оптимальных фильтров

 

Рассмотрим различные способы синтеза оптимальных фильтров. Фильтры для выделения сигнала на фоне коррелированного шума строятся обычно на основе спектрального метода, т. е. при использовании для комплексной частотной характеристики фильтра выражения (1.8).

Для согласованных фильтров, выделяющих сигнал на фоне белого шума, возможны два метода – спектральный и временной. Временной метод основан на использовании связи между импульсной характеристикой фильтра и сигналом согласно формуле (1.11). При этом синтез согласованного фильтра заключается в построении такого линейного устройства, импульсная характеристика которого с точностью до масштабного множителя и с некоторым запаздыванием воспроизводит функцию, являющуюся зеркальным отражением сигнала. Метод особенно удобен для сигналов симметричной формы, так как в этом случае зеркальное отражение сигнала совпадает с самим сигналом. По определению импульсная характеристика есть отклик линейной системы на -функцию. Поэтому нужно так подбирать блоки согласованного фильтра, чтобы при действии на его входе d-функции на выходе воспроизводился сигнал заданной формы и длительности.

 

1.6.1. Синтез согласованного фильтра для прямоугольного
видеоимпульса

 

Рассмотрим временной и спектральный методы синтеза фильтра на примере прямоугольного видеоимпульса:

Последовательность действий при синтезе временным методом иллюстрируется рис. 1.2.

 

Рис. 2.2

 

Известно, что единичная ступенька (перепад), или функция Хевисайда Y(t), (x ₂(t)) есть интеграл от -функции (x ₁(t)):

После задержки единичной ступеньки на длительность импульса _и (x ₃(t)), ее инвертирования (x ₄(t)) и вычитания из x ₂(t) получим заданный прямоугольный импульс x ₅(t), амплитуду которого можно изменять, меняя коэффициент передачи устройства. Отсюда следует, что искомый фильтр (рис. 1.3, а) состоит из интегратора 1, линии задержки на _и 2, инвертора 3, сумматора 4 и усилителя 5. Инвертор и сумматор могут быть заменены вычитающим устройством 6 (рис. 1.3, б). Работа обоих вариантов фильтра идентична.

ò

ò

å

-1

t и

x 1

t и

x 1

x 2

x 3

x 3

x 4

x 5

x 5

б

а

x 2

 

Рис. 1.3

 

Рассмотрим синтез фильтра спектральным методом. Комплексный спектр прямоугольного видеоимпульса:

Для согласованного фильтра:

 

Полагая _и = t₀, окончательно получим:

(1.18)

Рассмотрим члены, входящие в выражение (1.18). Оператор , как известно, представляет собой оператор идеального интегрирования гармонического сигнала; kA – коэффициент передачи линейного устройства; – задержку на время t _и. Видно, что структурная схема такого фильтра соответствует рис. 1.3.

Механизм работы согласованного фильтра (см. рис. 1.3) можно выяснить, рассматривая прохождение через него импульса сигнала и шума (рис. 1.4).

x2(t)

t

x3(t)

t

x1(t)

t

t u

x4(t)

t u

t

2t u

 

Рис. 1.4

 

Входной сигнал x₁ (t)с помощью интегрирующего устройства накапливается в течение времени t _и = t ₀ до своего пикового значения (x ₂ на рис. 1.4). Задержка на t _и (x ₃) и вычитание прекращают накопление сигнала, который уже дал на выходе максимальное значение, но вместе с тем прекращают и накопление шума. Выходной сигнал (x ₄) становится треугольным.

К аналогичному результату можно прийти, найдя аналитическое выражение для выходного полезного сигнала.

Для прямоугольного видеоимпульса ковариационная функция:

или, в силу симметрии ковариационной функции:

Заменяя в последнем выражении на t – t ₀ и полагая _и = t ₀ , на основании формулы (1.14) получаем:

График этой функции совпадает с приведенным на рис. 1.4. Видно, что длительность полезного сигнала на выходе фильтра удваивается.

 

1.6.2. Синтез оптимального фильтра для приема прямоугольного
импульса на фоне коррелированного шума

 

Пусть шум на входе фильтра имеет спектральную плотность S_n (w), отличную от равномерной:

где 2a – спектральная плотность шума при = 0; g- постоянная, характеризующая ширину энергетического спектра.

В соответствии с выражением (1.8) тогда можно получить формулу для комплексной частотной характеристики оптимального фильтра для приема прямоугольного видеоимпульса на фоне коррелированного шума:

(1.19)

Оператор j соответствует оператору идеального дифференцирования. Структурная схема оптимального фильтра, построенного в соответствии с формулой (1.19), изображена на рис. 1.5:

x(t)

t и

g^2

cA 2ag^2

ò

Рис. 1.5

 

На рисунке 6,7 – устройства дифференцирования; 8 – вычитатель. Назначение остальных блоков ясно из предыдущего.

Выражение (1.19) может быть преобразовано к виду

Структурная схема фильтра, соответствующая этому выражению, содержит на один блок меньше. Временной метод синтеза оптимальных фильтров для приема сигналов на фоне коррелированного шума используется редко, так как в этом случае передаточная функция фильтра обычно не позволяет построить структурную схему столь же просто, как это было сделано ранее.