Обнаружение сигнала со случайной начальной фазой

 

Рассмотрим обнаружение сигнала, имеющего детерминированную амплитуду и случайную начальную фазу высокочастотного заполнения. Будем считать, что плотность распределения вероятностей фазы равномерна в интервале 0...2p: p (b) = 1/2p.

Отношение правдоподобия в этом случае будет еще и функцией фазы b. Энергия сигнала мало зависит от b, поэтому считаем ее постоянной.

Пусть полезный сигнал имеет вид:

где A(t) – детерминированный амплитудный множитель; j (t) – детерминированный фазовый множитель; – случайный фазовый множитель.

Тогда выражение для корреляционного интеграла будет:

Введем обозначения:

Тогда . Найдем огибающую Z и фазу корреляционного интеграла: . Тогда корреляционный интеграл запишется в виде:

где

Подставим эту формулу в выражение (2.14) для отношения правдоподобия полностью известного сигнала:

Это выражение является случайной функцией. Поэтому в нем необходимо произвести усреднение по. Тогда:

Но, по определению,

где I₀(x) – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Окончательно:

Это отношение правдоподобия является монотонной функцией огибающей корреляционного сигнала Z. Поэтому оптимальным правилом обнаружения является вычисление значения Z и сравнение его с порогом Z ₀. Если Z > Z ₀, сигнал есть, если Z < Z ₀, сигнала нет. Структурная схема обнаружителя, включающая два квадратурных канала, представлена на рис. 2.9.

 

Рис. 2.9

 

В каждом канале вычисляются квадратурные составляющие корреляционного интеграла z ₁ и z ₂ соответственно. Затем находится огибающая Z, которая сравнивается с порогом Z ₀, устанавливаемым в соответствии с выбранным критерием оптимальности.

В качестве опорных напряжений для умножителей используются сдвинутые по фазе на p /2 колебания высокой частоты:

Для расчета кривых обнаружения необходимо найти законы распределения величины Z при наличии и отсутствии сигнала. Случайные величины z ₁ и z ₂ не коррелированы и распределены по гауссовскому закону. Тогда при отсутствии сигнала на входе плотность распределения вероятностей Z описывается законом Рэлея:

При наличии сигнала на входе плотность распределения вероятностей Z описывается обобщенным законом Рэлея:

Из теории распределения Рэлея известно, что:

Тогда условная вероятность ложной тревоги:

(2.17)

При работе обнаружителя по критерию Неймана-Пирсона из выражения (2.17) может быть определен порог регистрации :

Условная вероятность правильного обнаружения:

(2.18)

где .

Определяемая отсюда величина условной вероятности правильного обнаружения P_D может быть найдена по таблицам функции распределения обобщенного закона Рэлея (закона Рэлея-Райса) либо численным интегрированием. Результаты расчетов по выражениям (2.17) и (2.18) приведены на рис. 2.6 (штриховые линии). Примерная картина плотностей распределения на входе порогового устройства приведена на рис. 2.10.

psn(Z)

pn(Z)

Z0

Z

p(Z)

Рис. 2.10

 

 

Значительно проще структурная схема оптимального обнаружителя с согласованным фильтром (рис. 2.11):

 

Z0

A^*1

Z(t)

A^*0

x(t)

kz(t)

Рис. 2.11

 

Она состоит из согласованного фильтра 1, детектора огибающей 2 и порогового устройства 3. Детектор выполняет функцию выделения огибающей. Характеристики обнаружения такого обнаружителя могут быть определены по формулам (2.17) и (2.18).

 

Обнаружение сигнала со случайными амплитудой

И начальной фазой

 

При работе систем обнаружения слабых сигналов, как правило, приходится иметь дело с сигналами, имеющими случайные значения амплитуд и начальных фаз. Такие сигналы можно записать в виде:

 

где B и – случайные амплитудный множитель и фаза с плотностями распределения:

Аналогично предыдущему, корреляционный интеграл можно представить в виде двух квадратурных составляющих:

Следует отметить, что B – медленно изменяющаяся величина, практически постоянная в интервале [0 ,T ]. Корреляционный интеграл тогда равен , где .

Энергия флуктуирующего сигнала будет равна:

(2.19)

где – энергия нефлуктуирующего сигнала при B = 1. Отсюда можно определить , усреднив (2.19) по B:

Тогда =1/ 2 и

Используя выражения (2.14) и (2.19), можно записать отношение правдоподобия в виде:

Теперь необходимо усреднить это выражение по случайным параметрам B и:

Схема оптимального обнаружителя сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой не отличается от схемы оптимального обнаружителя сигнала со случайной фазой. По-прежнему оптимальной является квадратурная схема обработки. Плотность распределения вероятностей при отсутствии сигнала, как и ранее, описывается законом Рэлея:

В случае наличия сигнала на входе устройства закон распределения также будет рэлеевским, но с плотностью распределения:

Это следует из того, что вследствие независимости сигнала и помехи , где – дисперсия сигнальной составляющей корреляционного интеграла.

Тогда условная вероятность ложной тревоги:

(2.20)

При обнаружении по стратегии Неймана-Пирсона:

(2.21)

Условная вероятность правильного обнаружения:

(2.22)

Здесь: .

Подставляя сюда выражение (2.21), можно получить:

(2.23)

Выражение (2.23) устанавливает связь между условными вероятностями ложной тревоги и правильного обнаружения. Кривые обнаружения, рассчитанные по формулам (2.20) и (2.22), приведены на рис. 2.6 (штрихпунктирные линии). Из рисунка видно, что при увеличении отношения сигнал/помеха все кривые сначала растут медленно, а потом быстрее. При больших вероятностях правильного обнаружения кривые для сигнала со случайной начальной фазой и особенно для сигнала со случайными амплитудой и фазой смещены в сторону больших значений отношения сигнал/помеха. Наоборот, при малых вероятностях правильного обнаружения (P_D 0,2) кривые обнаружения для сигнала со случайными амплитудой и фазой идут выше соответствующих кривых для других двух сигналов. Это объясняется тем, что при равенстве энергий амплитуда сигнала со случайными амплитудой и фазой с вероятностью Р = 0,74будет превышать амплитуду сигнала с полностью известными параметрами [8].

Значительно проще структурная схема оптимального обнаружителя с согласованным фильтром (рис. 2.11). Характеристики обнаружения такого обнаружителя могут быть определены в соответствии с выражениями (2.20)–(2.23). Однако в ряде случаев удобнее оказывается использовать несколько иной подход. Как указывалось ранее, случайные сигналы (и помехи) на выходе согласованного фильтра обычно можно считать распределенными по гауссовскому закону. При этом на выходе согласованного фильтра можно измерить дисперсии (или пропорциональные им мощности) помехи и смеси сигнала с помехой . Для наиболее распространенного случая независимости сигнала и помехи , где – дисперсия полезного сигнала. Тогда на выходе детектора помеха и смесь сигнала с помехой будут распределены по закону Рэлея:

Вероятность ложной тревоги:

Отсюда пороговое значение:

Аналогично, вероятность правильного обнаружения:

или

где . Нетрудно убедиться, что , поскольку в выражение для q входит максимальное значение сигнала, а в – его среднеквадратическое значение.

Из изложенного видно, что оптимальные обнаружители на базе согласованных фильтров, имея те же характеристики обнаружения, что и корреляционные обнаружители, зачастую оказываются проще в реализации, так как не требуют наличия копии сигнала, задержанной на время распространения.