Оптимальные фильтры устройств обнаружения

 

Оптимальные линейные фильтры широко применяются при обнаружении и различении детерминированных сигналов, причем критерием оптимальности характеристик таких фильтров является получение на выходе фильтра максимально возможного отношения пикового значения сигнала к среднеквадратическому значению помехи. Цель обработки при этом состоит не в воспроизведении формы сигнала, которая считается известной, а в наиболее надежной фиксации лишь факта наличия или отсутствия сигнала в принятом колебании.

Найдем выражение для комплексной частотной характеристики оптимального фильтра [5]. Пусть на вход линейного фильтра с комплексной частотной характеристикой K (j w) воздействует сумма полностью известного сигнала s (t) и помехи n (t), представляющей собой стационарный в широком смысле случайный процесс с известной спектральной плотностью Sn (w) [4]:

x (t) = s (t) + n (t), 0 t T.

Обозначим полезный сигнал и помеху на выходе фильтра через s_в (t) и n_в (t). Известно, что если на вход линейной системы с комплексной частотной характеристикой K (j w) воздействует сигнал s (t), имеющий комплексный амплитудный спектр:

то комплексный спектр сигнала на выходе системы определяется произведением Ф(j w) K (j w), а сам выходной сигнал – выражением:

 

(1.1)

Спектральная плотность помехи на выходе фильтра определяется выражением Sn ()| K (j)| ², а ее дисперсия:

 

(1.2)

На основании формул (1.1) и (1.2) получаем выражение для отношения сигнал / помеха по мощности на выходе фильтра в некоторый момент времени t ₀:

(1.3)

Необходимо найти такую функцию K (j), при которой выражение (1.3) в некоторый момент времени t ₀ достигает максимума. Одним из путей решения этой задачи является использование неравенства Шварца-Буняковского. Известно, что для двух произвольных комплексных функций f (x) и g (x) выполняется соотношение:

(1.4)

причем знак равенства имеет место только в случае, когда g (x) = c ₀ f (x), где c ₀ – постоянная; f* (x) – функция, комплексно-сопряженная f (x).

Запишем выражение (1.4), перейдя к переменной , в виде

Полагая здесь

(1.5)

Получаем:

(1.6)

Отсюда следует, что максимально возможное значение отношения сигнал / помеха:

(1.7)

Согласно соотношению (1.5), это значение достигается лишь при выполнении условия:

или

(1.8)

где c – некоторая постоянная; t ₀ – момент времени, соответствующий наибольшему значению отношения сигнал/помеха на выходе фильтра. Таким образом, комплексная частотная характеристика оптимального линейного фильтра определяется формулой (1.8), а наибольшее отношение сигнал помеха – выражением (1.7). Варьируя спектры сигнала Ф(j) и помехи Sn ()в формуле (1.7), можно при некоторых дополнительных условиях (например, постоянство энергии или мощности сигнала и др.), налагаемых на систему, найти наилучшую форму спектра сигнала (при которой максимизируется Q) и наихудшую спектральную плотность помехи (при которой Q минимизируется).

В некоторых устройствах, например служащих для определения момента появления импульса, применяются фильтры, которые должны обеспечивать получение максимально возможного отношения крутизны сигнала к среднеквадратическому значению помехи. Такие фильтры можно назвать оптимальными по крутизне сигнала. Для определения комплексной частотной характеристики такого фильтра вместо самого сигнала s(t) надо рассматривать его производную по времени . При этом комплексная частотная характеристика фильтра, оптимального по крутизне сигнала, определяется выражением:

где Ф₁ * (j w) – комплексно-сопряженное значение спектра производной входного сигнала; с ₁– некоторая постоянная. Максимально возможное отношение крутизны сигнала к среднеквадратическому значению помехи будет:

Используя известное соотношение для преобразования Фурье производной сигнала:

можно записать:

Тогда:

,

.

 

Согласованные фильтры

 

До сих пор на помеху n(t) не налагалось никаких ограничений, кроме стационарности в широком смысле. Рассмотрим теперь помеху в виде гауссовского белого шума. Линейный фильтр, на выходе которого получается максимально возможное пиковое значение отношения сигнал/помеха при приеме полностью известного сигнала на фоне гауссовского белого шума, называется согласованным фильтром. Найдем выражение для комплексной частотной характеристики согласованного фильтра. Для этого положим Тогда выражения (1.7) и (1.8) примут соответственно вид:

(1.9)

где k – постоянная, характеризующая коэффициент передачи фильтра; Es – энергия сигнала:

Запишем спектр входного сигнала и комплексную частотную характеристику фильтра в виде:

Здесь j _s (w) – фазовый спектр сигнала, j(w) – фазо-частотная характеристика фильтра.

Тогда выражения для амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик согласованного фильтра будут иметь вид:

Видно, что амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованного фильтра пропорциональна амплитудному спектру входного сигнала (АЧХ фильтра «согласована» со спектром сигнала), а фазочастотная характеристика (ФЧХ) равна сумме фазочастотного спектра сигнала, взятого с обратным знаком, и фазового спектра задержки (– w t ₀).

Совпадение формы АЧХ фильтра с амплитудным спектром сигнала обеспечивает наилучшее выделение наиболее интенсивных участков спектра сигнала. Фильтр ослабляет участки спектра с относительно низким уровнем спектральных составляющих; в противном случае наряду с ними проходили бы интенсивные шумы. При этом форма сигнала на выходе фильтра искажается. Однако это не имеет существенного значения, так как задача фильтра в данном случае состоит не в точном воспроизведении входного сигнала, а в формировании наибольшего пика выходного сигнала на фоне шума. Существенную роль в этом отношении играет фазочастотная характеристика фильтра j (w).

Подставив в формулу (1.1) выражение (1.9), получим выражение для полезного сигнала на выходе согласованного фильтра:

Отсюда видно, что сигнал на выходе фильтра определяется только амплитудным спектром входного сигнала и не зависит от его фазового спектра. Последнее обусловлено тем, что взаимные фазовые сдвиги спектральных составляющих входного сигнала j_s(w) компенсируются ФЧХ фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момент времени t = t ₀ и, складываясь, дают пик выходного сигнала:

Если бы ФЧХ фильтра не компенсировала фазовых сдвигов спектральных составляющих входного сигнала, то максимумы гармонических составляющих не совпадали бы по времени, что привело бы к уменьшению или раздроблению пика выходного сигнала.

Следует отметить, что согласованным фильтром (1.9) можно пользоваться и при приеме полностью известного сигнала на фоне стационарной помехи с произвольной спектральной плотностью S_n( w ). Для этого формально достаточно пропустить принимаемое колебание x(t) через дополнительный линейный фильтр, который преобразует помеху n(t) в белый шум. ФЧХ фильтра может быть любой, а АЧХ такого дополнительного “обеляющего” фильтра должна иметь вид:

(1.10)

где – постоянная.

На выходе обеляющего фильтра помеха превратится в белый шум с постоянной спектральной плотностью а комплексный спектр сигнала будет:

После этого можно воспользоваться полученными ранее формулами. В соответствии с выражением (1.9) комплексная частотная характеристика соответствующего согласованного фильтра:

Оптимальный фильтр представляет собой последовательное соединение двух фильтров: обеляющего и согласованного . Его комплексная частотная характеристика естественно совпадает с соотношением (1.8).

Пользуясь допустимой свободой выбора фазовой характеристики обеляющего фильтра, можно попытаться выбрать ее так, чтобы оптимальный фильтр был физически реализуем. Если спектральную плотность помехи S_n (w) можно аппроксимировать рациональной функцией частоты (что на практике не ограничивает общности), то для получения физически реализуемого оптимального линейного фильтра используют разложение S_n (w)на комплексно-сопряженные сомножители. Рассмотрим пример.

Пусть помехой является гауссовский шум, имеющий спектральную плотность S_n (w)= 2a D /(a ²+ w²), где D – дисперсия шума. Тогда согласно формуле (1.10) имеем:

Таким образом, получаем два равноценных варианта обеляющих фильтров:

Найдем импульсную характеристику согласованного фильтра:

Учитывая выражение для входного сигнала:

Получаем:

s(t0+t)

s(t0 – t) = h0(t)

s(t)

t

t0

h(t)

(1.11)

 

 

Рис. 1.1

Следовательно, импульсная характеристика согласованного фильтра целиком определяется формой сигнала («согласована» с сигналом). На рис. 1.1 изображен импульсный сигнал s(t) длительностью _и, появившийся в момент времени t = ₀.

Очевидно, что функция s(t ₀ +t) появляется на время t ₀ раньше, чем сигнал s(t). Функция же s(t ₀ –t) является зеркальным отображением функции s(t ₀ +t) относительно оси ординат. Умножив функцию s(t ₀ –t) на коэффициент k, получаем импульсную характеристику согласованного фильтра.