Целесообразность введения корреляционной функции

Математическое ожидание и дисперсия характеризуют случайную функцию далеко не полно. Можно привести примеры двух случайных функций, которые имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии, но поведение которых различно. Зная лишь эти две характеристики, в частности, ничего нельзя сказать о степени зависимости двух сечений. Для оценки этой зависимости вводят новую характеристику—корреляционную функцию. Далее покажем, что, зная корреляционную функцию, можно найти и дисперсию; поэтому знать закон распределения для отыскания дисперсии нет необходимости. Уже это обстоятельство указывает на целесообразность введения корреляционной функции.

Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, введем понятие центрированной случайной функции по аналогии с понятием центрированной случайной величины (центрированной случайной величиной называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: = Х - m_x.

Центрированной случайной функцией называют разность между случайной функцией и ее математическим ожиданием:

(t)= X (t) -m_x (t).

Корреляционная функция случайной функции

Рассмотрим случайную функцию Х (t). При двух фиксированных значениях аргумента, например при t= t ₁и t= t ₂, получим два сечения—систему двух случайных величин Х (t ₁) и Х (t 2) с корреляционным моментом M [ (t ₁) (t ₂) ], где

(t ₁)=X(t ₁)-m_x(t ₁)и (t ₂)=X(t ₂)-m_x(t ₂).

Таким образом, каждая пара чисел t ₁ и t ₂ определяет систему двух случайных величин, а каждой такой системе соответствует ее корреляционный момент. Отсюда следует, что каждой паре фиксированных значений t ₁ и t ₂соответствует определенный корреляционный момент; это означает, что корреляционный момент случайной функции есть функция (неслучайная) двух независимых аргументов t ₁ и t ₂, ее обозначают через К_х (t ₁, t ₂). В частном случае значения обоих аргументов могут быть равны между собой.

Приведем теперь определение корреляционной функции.

Корреляционной функцией случайной функции Х (t)называют неслучайную функцию К_х (t ₁, t ₂) двух независимых аргументов t ₁ и t ₂, значение которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно корреляционному моменту сечений, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов:

К_х (t ₁, t ₂)= M [ (t ₁) (t ₂)].

Замечание. При равных между собой значенияхаргументов t ₁= t ₂ =t корреляционная функция случайной функцииравна дисперсии этой функции:

К_х (t, t)= D_x (t)

Действительно, учитывая, что

D_x(t)=M[X(t)-m_x(t)]²=M[ (t)]²,

получим

К_х (t, t)= M [ (t) (t)]= М [ (t)]² = D_x (t).

Таким образом, достаточно знать корреляционную функцию, чтобы найти дисперсию случайной функции.

Пример. Задана случайная функция X (t) =Ut, где U —случайная величина, причем М (U)=4, D (U) = 10. Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию заданной случайной функции.

Р е ш е н и е. а) Найдем математическое ожидание:

m_x (t)= M [ X (t)]= M (Ut) =tM (U)=4 t

Найдем центрированную функцию:

(t)= X (t) -m_x (t)= Ut - 4t= (U- 4) t.

 

 

Отсюда

(t₁)= (U-4)t₁, (t₂)= (U-4)t_2.

Найдем корреляционную функцию:

К_х (t ₁, t ₂)= M [ (t ₁) (t ₂)]=M[(U- 4) t ₁(U- 4) t ₂]= t ₁ t ₂M[(U- 4)²]= t ₁ t ₂D(U)=10 t ₁ t ₂

Итак, искомая корреляционная функция

К_х (t ₁, t ₂)= 10 t ₁ t ₂

б) Найдем дисперсию, для чего положим t ₁ =t ₂ =t;

D_x (t) =К_х (t, t) = 10 tt.

Итак, искомая дисперсия

D_x(t)=10t².

Свойства корреляционной функции

Свойство 1.При перестановке аргументов корреляционная функция не изменяется (свойство симметрии):

К_х (t ₁, t ₂)= К_х (t ₂, t ₁).

Доказательство. По определению корреляционной функции,

К_х (t ₁, t ₂)= M [ (t ₁) (t ₂)].

К_х (t ₂, t ₁)= M [ (t ₂) (t ₁)].

Правые части этих равенств равны (математическое ожидание произведения не зависит от порядка сомножителей), следовательно, равны и левые части. Итак,

К_х (t ₁, t ₂)= К_х (t ₂, t ₁).

Замечание 1. Прибавление к случайной функции X (t} неслучайного слагаемого φ (t) не изменяет ее центрированной функции:

Если

Y (t) =Х (t) +φ (t),

то

(t)= (t)

Действительно, математическое ожидание функции Y (t)

m_y (t) =m_x (t) +φ (t).

Следовательно,

(t)=Y(t)-m_y(t)=[Х(t)+φ(t)] – [m_x(t)+φ(t)]= X(t)-m_x(t)= (t).

 

Итак,

(t)= (t).

 

Свойство 2.Прибавление к случайной функции Х (t) неслучайного слагаемого φ (t) не изменяет ее корреляционной функции:

если

Y (t) =X (t) +φ (t),

то

К_y (t ₁, t ₂)= К_х (t ₁, t ₂).

Доказательство. В силу замечания 1

(t)= (t)

Отсюда (t₁)= (t₁) и (t₂)= (t₂).Следовательно,

M [ (t ₁) (t ₂)]= M [ (t ₁) (t ₂)].

Итак,

К_y (t ₁, t ₂)= К_х (t ₁, t ₂).

Замечание 2. При умножении случайной функции Х (t) на неслучайный множитель φ (t) ее центрированная функция умножается на этот же множитель:

если

Y(t)=Х(t)+φ(t),

то

(t) = (t) φ (t)

Действительно, математическое ожидание функции Y (t)

т_у(t)=М[Х(t)φ(t)]=φ(t)m_x(t).

Следовательно,

(t)= Y (t) -m_y (t) = [ Х (t) φ (t)] – [ m_x (t) φ (t)]= φ (t)[ X (t) -m_x (t)]= φ (t) (t)

Итак,

(t) = (t) φ (t)

Свойство 3. Приумножении случайной функции Х (t) нанеслучайный множитель φ (t)еекорреляционная функция умножается на произведение φ (t ₁) φ (t ₂):

Если

(t)= (t)φ(t).

то

К_y (t ₁, t ₂)= К_х (t ₁, t ₂) φ (t ₁) φ (t ₂).

Доказательство. В силу замечания 2

(t) = (t)

Следовательно,

К_y (t ₁, t ₂)= M [ (t ₁) (t ₂)]= M {[ (t ₁) φ (t ₁)] [ (t ₂) φ (t ₂)]}.

Вынесем неслучайные множители за знак математического ожидания:

К_y (t ₁, t ₂)= φ (t ₁) φ (t ₂) M [ (t ₁) (t ₂)]= φ (t ₁) φ (t ₂) K_x (t ₁, t ₂)

Итак,

К_y (t ₁, t ₂)= K_x (t ₁, t ₂) φ (t ₁) φ (t ₂)

Свойство 4. Абсолютная величина корреляционной функции не превышает среднего геометрического дисперсий соответствующих сечений:

.

Доказательство. Известно, что для модуля корреляционного момента двух случайных величин справедливо неравенство (см. гл. XIV, § 17, теорема 2)

.

При фиксированных значениях аргументов t ₁ и t ₂ значение корреляционной функции равно корреляционному моменту соответствующих сечений—случайных величин Х (t ₁) и Х (t ₂). Поэтому неравенство (*) можно записать так:

.